Matura rozszerzona, czerwiec 2012, zadanie 7

(4 pkt)
Okrąg jest styczny do osi układu współrzędnych w punktach $A=(0,2)$ i $B=(2,0)$ oraz jest styczny do prostej $l$ w punkcie $C=(1,a)$, gdzie $a>1$. Wyznacz równanie prostej $l$.

ROZWIĄZANIE:
W takim zadaniu musimy przynajmniej "mniej-więcej" zaplanować nasze działania. Zaczynamy od tego, że mamy podane informacje o punktach styczności okręgu. To pozwala nam wyznaczyć jego środek i promień (wystarczy narysować układ współrzędnych i dokładnie na niego popatrzeć): $$S=(2,2),\ \ \ r=2.$$ Dodatkowo wiemy, że punkt C jest punktem wspólnym prostej i okręgu, a więc na pewno spełnia równanie naszego okręgu! Musimy to równanie zapisać. Wzór oczywiście znajdziemy w tablicach:

Mamy dwie możliwości, ale użyjemy pierwszego wzoru, ponieważ mamy jawnie podany promień $r$ oraz współrzędne $a$ i $b$ środka okręgu. $$r=2, \ \ a=2, \ \ b=2$$ Wstawiamy: $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$ $$(x-2)^2+(y-2)^2=2^2$$ $$(x-2)^2+(y-2)^2=4$$ Skoro punkt $C=(1,a)$ należy do okręgu to wstawmy jego współrzędne, do powyższego równania: $$(1-2)^2+(a-2)^2=4$$ Rozpisując mamy: $$(-1)^2+a^2-4a+4=4$$ Przenosząc na jedną stronę: $$1+a^2-4a+4-4=0$$ otrzymamy $$a^2-4a+1=0$$ - proste równanie kwadratowe. Rozwiążmy je - dzięki temu dostaniemy konkretną wartość $a$, a to znaczy, że będziemy mieć jawne współrzędne punktu C. $$\Delta=16-4\cdot 1 \cdot 1=12$$ $$\sqrt{\Delta}=2\sqrt{3}$$ $$a_1=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\ \ \ \vee\ \ \ a_2=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}$$ Upraszczając: $$a_1=2+\sqrt{3}\ \ \ \vee\ \ \ a_2=2-\sqrt{3}$$ Pamiętamy, że w treści zadania był warunek $a>1$, tym samym odrzucamy wartość $a_2$ jako sprzeczną z tym właśnie warunkiem. Nasz punkt C ma współrzędne: $$C=(1,2+\sqrt{3})$$ Co dalej? Mamy wyznaczyć równanie prostej, stycznej do okręgu. Spójrzmy na rysunek:

Widzimy, że prosta $l$ jest prostopadła do prostej CS, którą łatwo wyznaczymy, ponieważ mamy oba punkty. Wzór ogólny dowolnej prostej to $$y=a_1x+b_1$$ Wstawmy współrzędne punktu $S=(2,2)$, oraz punktu $C=(1,2+\sqrt{3})$.Dostaniemy układ równań $$\left\{\begin{matrix}2=2a_1+b_1\\2+\sqrt{3}=a_1+b_1\end{matrix}\right.$$ Po odjęciu stronami: $$-\sqrt{3}=a_1$$ Oczywiście możemy wyznaczyć także współczynnik $b_1$ prostej CS, ale nie jest on nam potrzebny. Natomiast dzięki współczynnikowi $a_1$, możemy wyznaczyć prostą prostopadłą - czyli naszą szukaną prostą $l$. Między dwiema prostymi prostopadłymi powinna zachodzić zależność:

Szukana prosta $l$ ma wzór ogólny $$y=a_2x+b_2$$ i przechodzi przez punkt C. Z warunku prostopadłości dostajemy $$-\sqrt{3}\cdot a_2=-1$$ $$a_2=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$ Jak znaleźć $b_2$? Wystarczy wstawić współrzędne punktu $C=(1,2+\sqrt{3})$ do wzoru $$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+b_2$$ $$2+\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 1+b_2$$ $$2+\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=b_2$$ $$b_2=2+\frac{2\sqrt{3}}{3}$$

Możemy teraz zapisać, że nasza prosta $l$ ma równanie: $$l:\ \ \ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\Big(2+\frac{2\sqrt{3}}{3}\Big).$$

I jak? Trudne?

Zadanie domowe:
Okrąg jest styczny do osi układu współrzędnych w punktach $A=(0,-3)$ i $B=(-3,0)$ oraz jest styczny do prostej $l$ w punkcie $C=(-2,a)$, gdzie $a>-1$. Wyznacz równanie prostej $l$.