Matura rozszerzona, czerwiec 2012, zadanie 8

(5 pkt)
W czworokącie $ABCD$ dane są długości boków: $|AB|=24$, $|CD|=15$, $|AD|=7$. Ponadto kąty $DAB$ oraz $BCD$ są proste. Oblicz pole tego czworokąta oraz długości jego przekątnych.

ROZWIĄZANIE:
No to "na dzień dobry" rysujemy:

Zaczynamy od policzenia przekątnej DB wielokąta oraz jego pola (jako sumy dwóch trójkątów prostokątnych). Na początek dorysujmy wspomnianą przekątną i obliczmy jej długość. 

Jak? Proste - z twierdzenia Pitagorasa: $$|DB|^2=|AB|^2+|AD|^2$$ $$|DB|^2=24^2+7^2$$ $$|DB|^2=576+49=625$$ $$|DB|=25$$ Co dalej? Mając długość $|DB|$, policzymy, również za pomocą twierdzenia Pitagorasa długość boku $|CB|$: $$|DC|^2+|CB|^2=|DB|^2$$ $$15^2+|CB|^2=25^2$$ $$225+|CB|^2=625$$ $$|CB|^2=625-225=400$$ $$|CB|=20$$ W takim razie pole czworokąta ABCD policzymy jako sumę pól dwóch trójkątów prostokątnych: $$P_{ABCD}=P_{DAB}\ +\ P_{BCD}$$ $$P_{ABCD}=\frac{|AB|\cdot |AD|}{2}\ \ +\ \frac{|CD|\cdot |CB|}{2}$$ $$P_{ABCD}=\frac{24\cdot 7}{2}+\frac{15\cdot 20}{2}=84+150=234$$ Mamy już policzoną długość jednej przekątnej oraz pole. Pozostaje policzyć długość przekątnej AC. Możemy zrobić to na kilka sposobów - ja pokażę ten, w którym skorzystamy z twierdzenia cosinusów. W końcu fajnie pamiętać o jego istnieniu;-) Uaktualnijmy nasz rysunek:

I przypomnijmy, od razu na przykładzie naszego trójkąta, twierdzenie cosinusów (kto nie wierzy - odsyłam do tablic). $$|AC|^2=|AB|^2+|BC|^2-2\cdot |AB|\cdot |BC|\cdot \cos(\alpha+\beta)$$ Mamy wszystko oprócz cosinusa. Jak go policzyć... No cóż spróbujmy rozpisać zgodnie ze wzorem na cosinus sumy dwóch kątów: $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cdot\cos\beta-\sin\alpha\cdot\sin\beta$$ Już lepiej, tylko nadal potrzebujemy konkretnych wartości sinusów i cosinusów. Skąd je weźmiemy? No przecież mamy trójkąty prostokątne!:-) $$\sin\alpha=\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{7}{25} \ \ \ \ \ \ \sin\beta=\frac{|CD|}{|DB|}=\frac{15}{25}$$ $$\cos\alpha=\frac{|AB|}{|DB|}=\frac{24}{25} \ \ \ \ \ \ \cos\beta=\frac{|CB|}{|DB|}=\frac{20}{25}$$ I wstawiamy: $$\cos(\alpha+\beta)=\frac{24}{25} \cdot \frac{20}{25}-\frac{7}{25} \cdot \frac{15}{25}=\frac{480-105}{625}\ =\frac{375}{625}=\frac{3}{5}$$ Teraz pozostaje podstawić tę i pozostałe wartości do wzoru na $|AC|$: $$|AC|^2=24^2+20^2-2\cdot 24\cdot 20\cdot \frac{3}{5}$$ $$|AC|^2=576+400-576=400$$ Pierwiastkujemy stronami i mamy: $$|AC|=20$$

Odpowiedź: Pole czworokąta wynosi 234, a długości przekątnych to: $|DB|=25$ i $|AC|=20$

Zadanie domowe:

W czworokącie $ABCD$ dane są długości boków: $|AB|=12$, $|CD|=4\sqrt{3}$, $|AD|=5$. Ponadto kąty $DAB$ oraz $BCD$ są proste. Oblicz pole tego czworokąta oraz długości jego przekątnych.
(uwaga! wynik ostateczny może zawierać pierwiastki ;-))