Matura podstawowa, sierpień 2012, zadanie 4

Liczba $(2-3\sqrt{2})^2$ jest równa:
A. $-14$
B. $22$
C. $-14-12\sqrt{2}$
D. $22-12\sqrt{2}$

ROZWIĄZANIE:

Po raz kolejny - nic trudnego. Czy to nie napawa Was optymizmem??

...coś w nawiasie, do kwadratu... ano tak! wzór skróconego mnożenia...
Jeśli nawet zapomnisz go na maturze, znajdziesz go w tablicach. A nawet jeśli nie, to można z tego wybrnąć. Pokażę dwa sposoby:

POMYSŁ I, dłuższy, dla osób, które nie mają serca do wzorów skróconego mnożenia:
Mamy obliczyć wartość takiego wyrażenia  $(2-3\sqrt{2})^2=$. Wystarczy nam więc wiedza o tym, że kwadrat danej liczby to pomnożenie "jej samej przez ją samą".
$5^2=5\cdot 5=25$, $12^2=12\cdot 12=144$
Zazwyczaj trudniej nam podnosić do potęgi pierwiastki. Z kwadratowym jest jednak o tyle fajnie, że: $$\sqrt{2}^2=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{4}=2$$ $$\sqrt{5}^2=\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=\sqrt{25}=5$$ Zauważacie pewną prawidłowość?
Pierwiastek kwadratowy, podniesiony do kwadratu daje tę samą liczbę, która była pod daszkiem pierwiastka. Tak jest zawsze, gdy podnosimy pierwiastek do potęgi będącej jego stopniem:)

Wróćmy do wyrażenia: Teraz przypomnijmy sobie mnożenie nawiasów, czyli mnożenie "każde przez każde"  $$= 2\cdot 2 + 2\cdot (-3\sqrt{2})+ (-3\sqrt{2})\cdot 2 +(-3\sqrt{2})\cdot (-3\sqrt{2})=$$ Celowo nie ustalałam od razu znaków, aby pokazać jak ważne są w ostatecznym rachunku. Tu ludzie bardzo często popełniają "głupie" błędy, a uwierzcie, że odpowiedzi są dobrane często tak, by te błędy wyłapywać.
Pamiętajcie, aby wszystko na spokojnie rozpisać! Liczby mnożymy z liczbami, pierwiastki z pierwiastkami i w żadnym razie nie zapominamy o znakach! $$= 4 -6\sqrt{2}-6\sqrt{2}+9\cdot 2=$$ Redukujemy to co podobne, czyli pierwiastki osobno, liczby naturalne osobno: $$= 4 -12\sqrt{2}+18=22-12\sqrt{2}$$ Prawidłowa odpowiedź to D. $22-12\sqrt{2}$.


POMYSŁ II (polecam!):
Po prostu zastosować wzór skróconego mnożenia. $$(a-b)^2=a^2-2ab-b^2$$
Nasze $a=2$, natomiast $b=3\sqrt{2}$.
$$(2-3\sqrt{2})^2=2^2-2\cdot 2\cdot 3\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^2=$$ $$=4-12\sqrt{2}+9\cdot 2=4-12\sqrt{2}+18= 22-12\sqrt{2}$$ Znów D.  $22-12\sqrt{2}$ 

- coś w tym jest... to na pewno nasza poprawna odpowiedź:-)

Prawda, że prościej wzorami skróconego mnożenia? Polecam Wam gorąco stosowanie tych wzorów, ponieważ znacznie ułatwiają liczenie i w sumie po to są. Pamiętajmy o wyborze wzoru z dobrym znakiem (jak minus, to wzór z minusem) - bo gdy już go będziemy stosować, znaki mamy z głowy.

Zadanie domowe:

Liczba $(2+3\sqrt{3})^2$ jest równa:
A. $31$
B. $-23$
C. $31+12\sqrt{3}$
D. $-23+12\sqrt{3}$