Matura podstawowa, sierpień 2012, zadanie 19

Wskaż równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i prostopadłej do prostej o równaniu $y=-\frac{1}{3}x+2$.
A. $y=3x$
B. $y=-3x$
C. $y=3x+2$
D. $y=\frac{1}{3}x+2$

ROZWIĄZANIE:

Przede wszystkim szukamy w tablicach informacji o prostych prostopadłych!

Pierwszą prostą jest ta podana w treści zadania: $y=-\frac{1}{3}x+2$. Druga ma na pewno wzór ogólny: $y=a_2x+b_2$. Z pierwszej prostej odczytujemy, że \[a_1=-\frac{1}{3}\]Policzymy z warunku na prostopadłość $a_2$:\[a_1a_2=-1\]\[-\frac{1}{3}\cdot a_2=-1\]Dzielimy obustronnie przez $-\frac{1}{3}$ i otrzymujemy:\[a_2=\frac{-1}{-\frac{1}{3}}=1\cdot \frac{3}{1}=3\]Własność prostopadłości łatwo zapamiętać - współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej musi być liczbą przeciwną i jednocześnie odwrotnością współczynnika prostej wyjściowej.
Wracając do zadania - co mamy? \[y=3x+b_2\]Jak wyliczyć tajemnicze $b_2$? Spójrzmy do treści zadania... Jest tam informacja, że prosta prostopadła przechodzi przez początek układu współrzędnych, czyli przez punkt $O=(0,0)$. Wstawmy więc współrzędne tego punktu do równania prostej. Pamiętajcie - pierwsza współrzędna to $x$, druga to $y$. Tu akurat nie ma znaczenia (obie współrzędne są zerami), ale w zadaniu domowym należy na to zwrócić uwagę. Wstawiamy do \[y=3x+b_2\]\[0=3\cdot 0+b_2\]I wychodzi, że \[b_2=0\]Zapisujemy ponownie równanie prostej z uwzględnieniem wartości szukanego współczynnika:\[y=3x+0\]czyli\[y=3x\]Czy mamy taką odpowiedź? Jasne! A.

Zadanie domowe:

Wskaż równanie prostej przechodzącej przez punkt $(10,-1)$, prostopadłej do prostej o równaniu $y=\frac{2}{3}x+1$.
A. $y=\frac{3}{2}x$
B. $y=-\frac{3}{2}x$
C. $y= \frac{3}{2}x+14 $
D. $y=-\frac{3}{2}x+14$