Matura podstawowa, sierpień 2012, zadanie 14

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha=\frac{7}{13}$. Wtedy $\textrm{tg}\alpha$ jest równy:
A. $\frac{7}{6}$

B. $\frac{7\cdot 13}{120}$

C. $\frac{7}{\sqrt{120}}$

D. $\frac{7}{13\sqrt{120}}$

ROZWIĄZANIE:

Trygonometria, czyli coś, czego maturzyści nie lubią. Sprawdzamy więc, co tam słychać w naszych tablicach maturalnych. W podpunkcie dwunastym widzimy wszystkie potrzebne definicje. Problemem może być rozszyfrowanie, która długość to $x$, a która $y$. Zaznaczyłam Wam to na rysunku - zapamiętajcie, że jest tak jak na osiach!

Pierwszym i chyba łatwiejszym sposobem jest odwzorowanie na rysunku wartości sinusa $$\sin\alpha=\frac{7}{13}$$ Patrzymy, a sinus to $$\sin\alpha=\frac{y}{r}$$ Drogą porównania dostajemy $$y=7$$ $$r=13$$ Mamy więc trójkąt prostokątny:

Jak widzimy, do policzenia wartości funkcji tangens, potrzebny jest nam $x$. Chyba większość z Was wie, co teraz zrobimy... Twierdzenie Pitagorasa! Tak - najprzyjemniejsze i najczęściej stosowane twierdzenie, nie tylko na maturze:) Zapisujemy, że suma kwadratów dwóch przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej: $$x^2+7^2=13^2$$ $$x^2+49=169$$ Aby doliczyć się iksa, przenosimy liczby na prawą stronę: $$x^2=169-49$$ $$x^2=120$$ Mamy kwadrat, musimy spierwiastkować: $$x=\sqrt{120}$$ Odczytujemy teraz jak obliczyć tangens $$\textrm{tg}\alpha=\frac{y}{x}$$ Podstawiamy: $$\textrm{tg}\alpha=\frac{7}{\sqrt{120}}$$ I co? I mamy odpowiedź: C.

Drugim sposobem jest zastosowanie jedynki trygonometrycznej! Spróbujcie sami!:)

Zadanie domowe:

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\cos\alpha=\frac{7}{10}$. Wtedy $\textrm{tg}\alpha$ jest równy:
A. $\frac{3}{10}$

B. $\frac{\sqrt{51}}{7}$

C. $\frac{7}{\sqrt{51}}$

D. $\frac{7}{10\sqrt{51}}$