Matura podstawowa, sierpień 2012, zadanie 13

W ciągu geometrycznym $(a_n)$ dane są: $a_1=36$, $a_2=18$. Wtedy:
A. $a_4=-18$
B. $a_4=0$
C. $a_4=4,5$
D. $a_4=144$

ROZWIĄZANIE:

Ciągi.. W szkole spotkaliście się z dwoma typami: ciąg arytmetyczny i geometryczny. Czym się różnią od siebie? Arytmetyczny kojarzmy z dodawaniem, geometryczny z mnożeniem. Weźmy, że każdy z nich zaczyna się od pierwszego wyrazu równego $a_1=3$. I niech będzie, że różnicą (w c.arytmetycznym) i ilorazem (w c.geometrycznym) jest ta sama liczba - powiedzmy 2. Pokażę Wam różnicę miedzy nimi. $$\begin{matrix}arytm. &  & geom.\\a_1=3\ \ \ \ \textrm{r=2} &\ \ \ \ \ \ \ & a_1=3\ \ \ \ \textrm{q=2}\\a_2=a_1+r=3+2=5&  & a_2=a_1\cdot q=3\cdot 2=6\\a_3=a_2+r=5+2=7&  & a_3=a_2\cdot q=6\cdot 2=12\end{matrix}$$ I tak dalej...

Tak więc wróćmy do zadania. Mamy ciąg geometryczny $a_1=36$ oraz $a_2=18$.
Oczywiście możemy posłużyć się wzorami (z tablic), ale w tym przypadku łatwiej i szybciej wypisać. Ile wynosi więc $q$? Zastanawiamy się przez ile trzeba pomnożyć wyraz pierwszy, żeby otrzymać wyraz drugi. Przez $q=\frac{1}{2}$. No więc żeby policzyć wyraz trzeci należy policzyć: $$a_3=a_2\cdot q=18\cdot \frac{1}{2}=9$$ $$a_4=a_3\cdot q=9\cdot \frac{1}{2}=4,5$$
Odpowiedź poprawna to C.

Zadanie domowe:

W ciągu geometrycznym $(a_n)$ dane są: $a_1=2$, $a_2=-4$. Wtedy:
A. $a_4=-16$
B. $a_4=16$
C. $a_4=8$
D. $a_4=-8$