Matura podstawowa, sierpień 2012, zadanie 9

Zbiorem rozwiązań nierówności $x(x+6)<0$ jest:
A. $(-6,0)$
B. $(0,6)$
C. $(-\infty,-6)\cup(0;+\infty)$
D. $ (-\infty,0)\cup(6;+\infty) $


ROZWIĄZANIE:

W przypadku takiej nierówności 90% maturzystów zabiera się za wymnażanie nawiasów, następnie liczenie delty.
Pokażę Wam dużo łatwiejszy sposób. Jeżeli mamy jakąkolwiek nierówność podaną w postaci iloczynowej (czyli "mnożenia nawiasów") postępujemy następująco:

- traktujemy na początku nierówność jako równanie \[x(x+6)=0\]Następnie pytamy, kiedy takie równanie jest zerem? Odpowiedź jest oczywista - kiedy przynajmniej jeden z czynników będzie równy 0. A więc: \[x=0\ \ \ \ \ \vee\ \ \ \ \ x+6=0\]Wyznaczmy "iksy": \[x=0\ \ \ \ \ \vee \ \ \ \ \ x=-6\]Są to miejsca, które musimy zaznaczyć na osi;

- gdy już zaznaczyliśmy -6 i 0 na osi, spróbujmy zastanowić się co należy narysować? $x(x+6)=x^2+6x$ - jest to funkcja kwadratowa. Jej wykresem jest parabola, której miejsca zerowe znamy z poprzedniego kroku! Potrzebujemy jeszcze jednej informacji - czy ramiona paraboli skierowane są w górę, czy w dół? W tym celu potrzebny nam współczynnik przy $x^2$:\[a=1\]Jest on dodatni dlatego też ramiona paraboli skierujemy do góry;

- rysujemy!! I od razu zaznaczamy plusami - części nad osią, minusami - części pod osią.

- patrzymy jeszcze raz w polecenie zadania, pamiętając, że docelowo mamy rozwiązać nierówność! \[x(x+6)<0\]Czytamy na głos: "mniejsze od zera". Ach tak! Mniejsze od zera to przecież minusy...:) Pamiętamy o zaznaczeniu pustych kółek w naszych końcach przedziału, ponieważ w nierówności występuje znak silnej mniejszości "<" (kółka pełne tylko przy $\leqslant$ oraz $\geqslant$)!

- odczytujemy więc z osi przedział otwarty, w którym narysowaliśmy minusa: \[(-6,0)\]Naszą poprawną odpowiedzią jest A.

Zadanie domowe:

Zbiorem rozwiązań nierówności $-x(x-3)>0$ jest:
A. $(0,3)$
B. $(-3,0)$
C. $(-\infty,-3)\cup(0;+\infty)$
D. $ (-\infty,0)\cup(3;+\infty) $