Matura rozszerzona, czerwiec 2012, zadanie 3

(5 pkt)
Kąt $\alpha$ jest taki, że $\cos \alpha+\sin \alpha=\frac{4}{3}$. Oblicz wartość wyrażenia: $|\cos \alpha-\sin \alpha|$.

ROZWIĄZANIE:
Na pierwszy rzut oka nie wiemy od czego zacząć... Skąd z "plusa" wziąć "minus" i do tego wartość bezwzględną? W takiej sytuacji zastanawiamy się, jaka wiedza z zakresu funkcji trygonometrycznych może nam pomóc? Zapewne podstawowa... A co jest najbardziej elementarne w tym dziale?
JEDYNKA TRYGONOMETRYCZNA! \[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\]
Pomyślmy teraz, jak użyć jej w naszym zadaniu?
Wychodzimy od początkowego wyrażenia: \[\cos \alpha+\sin \alpha=\frac{4}{3}\]Chcemy mieć jedynkę, a więc kwadraty. Wniosek jest prosty - podnosimy obustronnie do potęgi drugiej:)\[(\cos \alpha+\sin \alpha)^2=(\frac{4}{3})^2\]Stosujemy wzór skróconego mnożenia:\[\cos^2 \alpha+2\cos\alpha\cdot\sin\alpha+\sin^2 \alpha=\frac{16}{9}\]Ooo... widzimy jedynkę trygonometryczną:\[1+2\cos\alpha\cdot\sin\alpha=\frac{16}{9}\]Przenosimy ją na drugą stronę równania:\[2\cos\alpha\cdot\sin\alpha=\frac{16}{9}-1\]\[2\cos\alpha\cdot\sin\alpha=\frac{7}{9}\]Myślimy intensywnie co teraz? Skoro skorzystaliśmy już z jednego wzoru skróconego mnożenia - z plusem, to może należałoby skorzystać z drugiego, z minusem. Za podstawę posłuży nam ulubiona jedynka trygonometryczna:\[\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\]Aby z lewej mieć wzór skróconego mnożenia (ten z minusem) trzeba odjąć obustronnie $2\cos\alpha\cdot\sin\alpha$. Super, zwłaszcza, że wiemy ile to jest: $2\cos\alpha\cdot\sin\alpha=\frac{7}{9}$:)\[\cos^2\alpha-2\cos\alpha\cdot\sin\alpha+\sin^2\alpha=1-2\cos\alpha\cdot\sin\alpha\]Wstawiamy naszą wartość po prawej i jednocześnie "zwijamy" stronę lewą:\[(\cos\alpha-\sin\alpha)^2=1-\frac{7}{9}\]\[(\cos\alpha-\sin\alpha)^2=\frac{2}{9}\]Aby otrzymać upragnioną wartość bezwzględną wystarczy obustronnie spierwiastkować:\[|\cos\alpha-\sin\alpha|=\frac{\sqrt{2}}{3}\]I 5 punktów jest nasze!!!

Zadanie domowe:
Kąt $\alpha$ jest taki, że $\cos \alpha+\sin \alpha=\frac{5}{4}$. Oblicz wartość wyrażenia: $|\cos \alpha-\sin \alpha|$.