Matura rozszerzona, czerwiec 2012, zadanie 3

(5 pkt)
Kąt $\alpha$ jest taki, że $\cos \alpha+\sin \alpha=\frac{4}{3}$. Oblicz wartość wyrażenia: $|\cos \alpha-\sin \alpha|$.

ROZWIĄZANIE:
Na pierwszy rzut oka nie wiemy od czego zacząć... Skąd z "plusa" wziąć "minus" i do tego wartość bezwzględną? W takiej sytuacji zastanawiamy się, jaka wiedza z zakresu funkcji trygonometrycznych może nam pomóc? Zapewne podstawowa... A co jest najbardziej elementarne w tym dziale?
JEDYNKA TRYGONOMETRYCZNA! $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$
Pomyślmy teraz, jak użyć jej w naszym zadaniu?
Wychodzimy od początkowego wyrażenia: $$\cos \alpha+\sin \alpha=\frac{4}{3}$$ Chcemy mieć jedynkę, a więc kwadraty. Wniosek jest prosty - podnosimy obustronnie do potęgi drugiej:) $$(\cos \alpha+\sin \alpha)^2=(\frac{4}{3})^2$$ Stosujemy wzór skróconego mnożenia: $$\cos^2 \alpha+2\cos\alpha\cdot\sin\alpha+\sin^2 \alpha=\frac{16}{9}$$ Ooo... widzimy jedynkę trygonometryczną: $$1+2\cos\alpha\cdot\sin\alpha=\frac{16}{9}$$ Przenosimy ją na drugą stronę równania: $$2\cos\alpha\cdot\sin\alpha=\frac{16}{9}-1$$ $$2\cos\alpha\cdot\sin\alpha=\frac{7}{9}$$ Myślimy intensywnie co teraz? Skoro skorzystaliśmy już z jednego wzoru skróconego mnożenia - z plusem, to może należałoby skorzystać z drugiego, z minusem. Za podstawę posłuży nam ulubiona jedynka trygonometryczna: $$\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$$ Aby z lewej mieć wzór skróconego mnożenia (ten z minusem) trzeba odjąć obustronnie $2\cos\alpha\cdot\sin\alpha$. Super, zwłaszcza, że wiemy ile to jest: $2\cos\alpha\cdot\sin\alpha=\frac{7}{9}$:) $$\cos^2\alpha-2\cos\alpha\cdot\sin\alpha+\sin^2\alpha=1-2\cos\alpha\cdot\sin\alpha$$ Wstawiamy naszą wartość po prawej i jednocześnie "zwijamy" stronę lewą: $$(\cos\alpha-\sin\alpha)^2=1-\frac{7}{9}$$ $$(\cos\alpha-\sin\alpha)^2=\frac{2}{9}$$ Aby otrzymać upragnioną wartość bezwzględną wystarczy obustronnie spierwiastkować: $$|\cos\alpha-\sin\alpha|=\frac{\sqrt{2}}{3}$$ I 5 punktów jest nasze!!!

Zadanie domowe:
Kąt $\alpha$ jest taki, że $\cos \alpha+\sin \alpha=\frac{5}{4}$. Oblicz wartość wyrażenia: $|\cos \alpha-\sin \alpha|$.