Matura rozszerzona, czerwiec 2012, zadanie 5

(5 pkt)
W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, dla $n\geqslant 1$, dane są $a_1=-2$ oraz różnica $r=3$. Oblicz największe $n$ takie, że $a_1+a_2+...+a_n<2012$.

ROZWIĄZANIE:
Zgodnie z poleceniem, mamy do policzenia największe $n$, takie, że $S_n<2012$. Nic trudnego, zwłaszcza, że tablice podają wzór (a nawet dwa) na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu.

Który z nich my wykorzystamy? Wystarczy spojrzeć w treść zadania. Dane mamy wartość $a_1$ oraz $r$, więc wybór pada na drugi wzór. $$S_n=\frac{2a_1+(n-1)\cdot r}{2}\ \cdot n$$ Wiemy, że suma ta ma być mniejsza od 2012: $$\frac{2a_1+(n-1)\cdot r}{2}\ \cdot n<2012$$ Wstawmy więc dane z zadania - dzięki temu otrzymamy nierówność z niewiadomą $n$. $$\frac{2\cdot(-2)+(n-1)\cdot 3}{2}\ \ \cdot n<2012$$ Pomnóżmy obustronnie przez mianownik, jednocześnie upraszczając wygląd licznika: $$(-4+3n-3)\ \cdot n<4024$$ $$(3n-7)\ \cdot n<4024$$ Wymnóżmy co trzeba i przenieśmy wszystko na jedną stronę nierówności: $$3n^2-7n-4024<0$$ Jest to nierówność kwadratowa. Wystarczy policzyć deltę, zaznaczyć pierwiastki na osi i odczytać wynik:) $$\Delta=(-7)^2-4\cdot 3\cdot (-4024)=49+48288=48337$$ $$\sqrt{\Delta}\approx 219,857$$ Coś nowego, ponieważ zazwyczaj wychodzi delta, którą da się spierwiastkować. Uważajcie na to na maturze - na podstawowej na pewno takie nie powinno tak wyjść, natomiast na rozszerzonej może. Zachowajcie czujność, dla pewności prześledźcie swoje rachunki, czy nie popełniliście błędu. No... tu akurat tak wyszło. Co dalej? Podajemy przybliżone wartości pierwiastków: $$n_1=\frac{7-219,857}{2\cdot 3}\ \approx -35,48\ \ \vee \ \ n_2=\frac{7+219,857}{2\cdot 3}\ \approx 37,81$$ Rysujemy parabolę:

I wypisujemy wynik. Chodzi nam o "eny" mniejsze od zera, więc nasz przedział będzie następujący: $$n\in(-35,48;37,81)$$ Pamiętamy także, że chodziło nam o największe możliwe $n$ naturalne, większe od 1. Wybierać więc możemy ze zbioru: $$n\in\{1,2,...,37\}$$ No a wiadome, że największe z nich jest $$n=37$$ Jest to jednocześnie nasza odpowiedź, dostajemy 5 punktów!

Zadanie domowe:
W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, dla $n\geqslant 1$, dane są $a_1=6$ oraz różnica $r=-2$. Oblicz największe $n$ takie, że $a_1+a_2+...+a_n>-2012$.