Matura rozszerzona, czerwiec 2012, zadanie 2

(4 pkt)
Wielomian $W(x)=x^4+ax^3+bx^2-24x+9$ jest kwadratem wielomianu $P(x)=x^2+cx+d$. Oblicz $a$ oraz $b$.

ROZWIĄZANIE:
Zacznijmy od zapisania warunku z zadania: \[W(x)=(P(x))^2\]Podstawmy teraz podane wielomiany: \[x^4+ax^3+bx^2-24x+9=(x^2+cx+d)^2\]Podnieśmy więc prawą stronę do kwadratu, mnożąc zwyczajnie nawias przez nawias lub podnosząc za pomocą wzoru z tablic:\[(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]Dostajemy:\[x^4+ax^3+bx^2-24x+9=x^4+c^2x^2+d^2+2cx^3+2dx^2+2cdx\] Uporządkujmy według potęg:\[x^4+ax^3+bx^2-24x+9=x^4+2cx^3+c^2x^2+2dx^2+2cdx+d^2\]\[x^4+ax^3+bx^2-24x+9=x^4+2cx^3+(c^2+2d)x^2+2cdx+d^2\]Dwa wielomiany są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia, gdy współczynniki przy odpowiednich potęgach są sobie równe oraz mają te same dziedziny. U nas z dziedzinami nie ma problemu, w obu przypadkach jest to zbiór liczb rzeczywistych. Porównajmy więc kolejne współczynniki, przy podanych potęgach:
przy $x^4$:                   $1=1$
przy $x^3$:                   $a=2c$
przy $x^2$:                   $b=c^2+2d$
przy $x$:                      $-24=2cd$
wyraz wolny:                $9=d^2$
Otrzymaliśmy więc układ równań:\[\left\{\begin{matrix}a=2c\\b=c^2+2d\\-24=2cd\\9=d^2\end{matrix}\right.\]Musimy wyliczyć konkretne wartości niewiadomych z układu. Najłatwiej pozbyć się warunku $9=d^2$. Daje nam to dwie możliwości na wartość $d$:\[d=3\vee d=-3\]Wstawiamy do przedostatniego równania, aby wyliczyć $c$:\[c=\frac{-24}{2d}=-\frac{12}{d}\]Otrzymamy:\[\left\{\begin{matrix}d=3\\c=-4\end{matrix}\right.\ \ \ \vee \ \ \ \left\{\begin{matrix}d=-3\\c=4\end{matrix}\right.\]W tym momencie "wzory" na $a$ oraz $b$ mamy podane: $a=2c$ natomiast $b=c^2+2d$:\[\left\{\begin{matrix}d=3\\c=-4\\b=16+6=22\\a=-8\end{matrix}\right.\ \ \ \vee \ \ \ \left\{\begin{matrix}d=-3\\c=4\\b=16-6=10\\a=8\end{matrix}\right.\]Jesteśmy więc w stanie podać odpowiedź: \[\left\{\begin{matrix}a=-8\\b=22\end{matrix}\right.\ \ \ \vee\ \ \ \left\{\begin{matrix}\\a=8\\b=10\end{matrix}\right.\]
A nasz maturalny wynik powiększa się o 4 punkty, czyli aż 8%:-)

Zadanie domowe:
Wielomian $W(x)=4x^4+ax^3+bx^2+30x+9$ jest kwadratem wielomianu $P(x)=2x^2+cx+3d$. Oblicz $a$ oraz $b$.