Równanie $\frac{(x+3)(x-2)}{(x-3)(x+2)}=0$ ma:
A. dokładnie jedno rozwiązanie
B. dokładnie dwa rozwiązania
C. dokładnie trzy rozwiązania
D. dokładnie cztery rozwiązania
ROZWIĄZANIE:
Niech Was nie zmyli ilość nawiasów! Od razu napiszę, że nie są to cztery rozwiązania;-)
Wszędzie, gdzie mamy do czynienia z wyrażeniami wymiernymi, czyli w postaci ułamków, musimy podać dziedzinę. Zastanawiając się nad nią interesuje nas jedynie mianownik. Ktoś zapyta dlaczego? Wiemy, że kreska ułamkowa zastępuje dzielenie, dlatego mianownik musi być różny od zera (bo nie dzielimy przez zero! nigdy!!!).
No to zobaczmy, co z tą dziedziną. Cały mianownik nie może być zerem:\[(x-3)(x+2)\not =0\]A więc ani pierwszy, ani drugi nawias zerem być nie może:\[x-3\not =0\ \ \ \ \wedge\ \ \ \ x+2\not =0.\]Po przeniesieniu wiadomych na prawą stronę dostajemy:\[x\not =3\ \ \ \ \wedge\ \ \ \ x\not =-2.\]Pamiętamy więc o tych dwóch liczbach, ponieważ one nie mogą być rozwiązaniami naszego wyjściowego równania.
Pytamy więc, skoro nie one, to co będzie?\[\frac{(x+3)(x-2)}{(x-3)(x+2)}=0\]Możemy pomnożyć obustronnie przez cały mianownik lub po prostu pomyśleć - skoro mianownik nie może być zerem, to musi być nim licznik... W obu wersjach zostaje nam policzyć\[(x+3)(x-2)=0\]\[x+3=0\ \ \ \ \vee \ \ \ \ x-2=0\]\[x=-3\ \ \ \ \vee \ \ \ \ x=2\]Teraz obowiązkowo sprawdzamy, czy nie są to liczby, które wypadły z dziedziny $(3$ i $-2)$. Nie są. Dlatego możemy stwierdzić, że będą to rozwiązania naszego równania...
Ile ich jest? A no dwa... $-3$ oraz $2$.
Odpowiedź poprawna to B.
(nieco bardziej podchwytliwe, ale uwierzcie - wcale nie trudniejsze... wystarczy dobrze popatrzeć)
Równanie $\frac{(x-4)(x-2)(x-1)}{(x+4)(x+1)(x-2)}=0$ ma:
A. zero rozwiązań
B. dokładnie jedno rozwiązanie
C. dokładnie dwa rozwiązania
D. dokładnie trzy rozwiązania
wyszło mi C. ;)
OdpowiedzUsuńjak zawsze dobrze:) myślę, że jak będziesz tak dalej trzymać to o wysoki wynik nie masz się co martwić:D
Usuńdziękuję! miło mi czytać takie słowa ;)
Usuńi nie obraziłabym się za wysoki wynik na maturce :)
nie rozumiem ... jak na koncu sprawdzic ile jest rozwiazan, jesli co jest spelnione?
OdpowiedzUsuńJeżeli całe "piętrowe" równanie masz przyrównane do zera, to rozwiązania mogą pochodzić tylko z licznika (mianownik nie może być zerem). Musimy jednak sprawdzić, czy kandydaci na rozwiązania z licznika nie są przypadkiem wykluczeni z dziedziny, w tym celu bawimy się mianownikiem. Spójrz na kilka przykładów:
Usuń$$\frac{(x-4)(x+2)}{x^2-4}=0$$
Tu kandydaci na rozwiązania to 4 i -2 z licznika. Niestety po wstawieniu (-2) do mianownika, otrzymamy zero. Musimy więc (-2) odrzucić i zostawić tylko 4.
Rozwiązanie jest więc jedno.
$$\frac{(x-2)(x+2)}{x^2-4}=0$$
Kandydaci z licznika: 2,-2.
Obaj dają zero w mianowniku, więc odrzucamy oba rozwiązania.
Równanie jest sprzeczne - innymi słowy nie ma rozwiązań.
$$\frac{(x-2)(x+2)}{x^2-9}=0$$
Kandydaci z licznika to znów 2 i -2.
Podstawienie ich do mianownika oczywiście nie daje 0, więc obaj są w porządku :-)
Równanie ma dwa rozwiązania.
I trudniejsze...
$$\frac{(x-2)(x+2)(x+3)}{(x^2-9)(x-2)}=0$$
Kandydaci z licznika 2,-2,-3.
2 wypada, bo w mianowniku pojawia się zero.
-2 jest ok.
-3 wypada, bo w mianowniku mamy 0.
Równanie posiada jedno rozwiązanie.
Czasem może się zdarzyć, że nie będziemy mieć podanej postaci iloczynowej (czyli nawiasów) i trzeba będzie samemu rozłożyć licznik i mianownik - ale to też nie jest takie trudne.
Mam nadzieję, że pomogłam!