Matura podstawowa, sierpień 2012, zadanie 20

Punkty $B=(-2,4)$ i $C=(5,1)$ są dwoma sąsiednimi wierzchołkami kwadratu $ABCD$. Pole tego kwadratu jest równe:
A. $74$
B. $58$
C. $40$
D. $29$

ROZWIĄZANIE:

Większość zaczęłaby pewnie od rysunku. Niepotrzebnie! Wystarczy odrobinę ruszyć wyobraźnią. Sąsiednie wierzchołki, jakimi są $B$ oraz $C$ tworzą przecież bok kwadratu. Licząc długość $|CB|$ będziemy mieli wartość $a$, którą wstawimy do pamiętanego od podstawówki wzoru na pole kwadratu $P=a^2$. Proste?
No to policzmy długość: $|CB|$. Skorzystamy z wzoru na długość odcinka o podanych punktach, który to wzór oczywiście znajdziemy w tablicach maturalnych (KLIK, żeby powiększyć).

Trzeba tylko zmienić literki, bo u nas są $B$ i $C$.\[|CB|=\sqrt{(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2}\]Wstawimy więc poniższe współrzędne: \[B=(-2,4)\ \ \ \ C=(5,1)\], gdzie:\[x_B=-2\ \ \ \ y_B=4\ \ \ \ x_C=5\ \ \ \ y_C=1\]Otrzymamy: \[|CB|=\sqrt{(-2-5)^2+(4-1)^2}=\sqrt{(-7)^2+(3)^2}=\sqrt{49+9}=\sqrt{58}\]Tak więc długość boku kwadratu z zadania wynosi \[a=\sqrt{58}\]Liczymy szybko pole:\[ P=a^2=(\sqrt{58})^2=58\]Mamy punkt! Za naprawdę proste zadanie:) Odpowiedź B.

PS: Oczywiście możemy liczyć długość $|BC|$ i wyjdzie to samo!

Zadanie domowe:

Punkty $C=(7,3)$ i $D=(4,-1)$ są dwoma sąsiednimi wierzchołkami kwadratu $ABCD$. Pole tego kwadratu jest równe:
A. $50$
B. $5$
C. $25$
D. $\sqrt{5}$