Matura rozszerzona, czerwiec 2012, zadanie 1

(4 pkt)
Rozwiąż nierówność $|x-2|+|x+1|\geq 3x-3$.

ROZWIĄZANIE:
Na początek zastanawiamy się z czym mamy do czynienia - jest to nierówność z wartością bezwzględną, z niewiadomą $x$. Jak się za nią zabieramy? Staramy się w jakiś sposób opuścić wartość bezwzględną, bo wtedy nierówność staje się trywialną:)
Korzystamy tutaj z definicji wartości bezwzględnej, którą to odnajdujemy w głowie lub tablicach maturalnych:

Aby rozpisać nasze wyrażenie rozważymy kolejne przypadki, sprawdzając, kiedy wyrażenie spod wartości bezwzględnej jest ujemne, a kiedy nieujemne. $$|x-2|+|x+1|\geq 3x-3$$ Po kolei więc, pierwsza wartość bezwzględna przyjmuje postać: $$|x-2|=\left\{\begin{matrix} x-2 & dla & x-2\geq 0\\ -(x-2) & dla & x-2< 0 \end{matrix}\right.$$ Upraszczamy odrobinę, czyli pozbywamy się nawiasu w drugiej linijce i przenosimy wyraz wolny na drugą stronę nierówności: $$|x-2|=\left\{\begin{matrix} x-2 & dla & x\geq 2\\ -x+2 & dla & x< 2 \end{matrix}\right.$$ Tak samo postępujemy z drugą wartością bezwzględną: $$|x+1|=\left\{\begin{matrix} x+1 & dla & x+1\geq 0\\ -(x+1) & dla & x+1<0 \end{matrix}\right.$$ Znów upraszczamy: $$|x+1|=\left\{\begin{matrix} x+1 & dla & x\geq -1\\ -x-1 & dla & x<-1 \end{matrix}\right.$$ Widzimy, że wyrażenie przyjmie kolejne postaci, zależnie od przedziału, w który "wpadniemy". Myślę, że na poniższym rysunku widać to najlepiej:

Dostaliśmy jak widać trzy przedziały: $(-\infty;-1)$, $<-1;2)$ oraz $<2;+\infty)$. I w tych przedziałach pozbywamy się wartości bezwzględnej zgodnie z drugim schematem:) Oczywiście to, co było bez wartości bezwzględnej zostawiamy bez zmian! Przypadki, które dostaliśmy to: $$I. \left\{\begin{matrix} x\in(-\infty;-1)\\ -x+2-x-1\geqslant 3x-3 \end{matrix}\right.$$ $$II.\left\{\begin{matrix} x\in<-1;2)\\ -x+2+x+1\geqslant 3x-3 \end{matrix}\right.$$ $$III.\left\{\begin{matrix} x\in<2;+\infty)\\ x-2+x+1\geqslant 3x-3   \end{matrix}\right.$$ Upraszczamy wyrażenia, redukując wyrazy podobne. $$I. \left\{\begin{matrix} x\in(-\infty;-1)\\ -2x+1\geqslant 3x-3 \end{matrix}\right.$$ $$-5x\geqslant-4$$ Nie zapominamy o zmianie znaku nierówności przy dzieleniu przez liczbę ujemną! $$x\leqslant \frac{4}{5}$$ Pamiętamy też, że ta nierówność dotyczy przedziału $(-\infty;-1)$. Nakładamy więc warunki na siebie: $$I. \left\{\begin{matrix} x\in(-\infty;-1)\\ x\leqslant \frac{4}{5} \end{matrix}\right.$$ Otrzymując $x\in(-\infty;-1)$ z pierwszego przypadku (I.).
Analogicznie rozwiązujemy drugi:  $$II.\left\{\begin{matrix} x\in<-1;2)\\ -x+2+x+1\geqslant 3x-3 \end{matrix}\right.$$ $$3\geqslant 3x-3$$ $$6\geqslant 3x$$ $$x\leqslant 2$$ $$II.\left\{\begin{matrix} x\in<-1;2)\\ x\leqslant 2 \end{matrix}\right.$$ $$x\in<-1;2)$$

I trzeci:  $$III.\left\{\begin{matrix} x\in<2;+\infty)\\ x-2+x+1\geqslant 3x-3   \end{matrix}\right.$$ $$2x-1\geqslant3x-3$$ $$-x\geqslant -2$$ $$x\leqslant 2$$ $$III.\left\{\begin{matrix} x\in<2;+\infty)\\  x\leqslant 2  \end{matrix}\right.$$ $$x\in\{2\}$$ Teraz łączymy ze sobą wszystkie trzy przypadki: $$\left\{\begin{matrix}x\in(-\infty;-1)\\x\in<-1;2)\\x\in\{2\}\end{matrix}\right.$$ Otrzymujemy w wyniku przedział, dla którego spełniona jest nierówność z zadania: $$x\in(-\infty;2>$$

ODPOWIEDŹ: Nierówność jest spełniona dla liczb z przedziału: $x\in(-\infty;2>$.

Zadanie domowe:
Rozwiąż nierówność $|2x+6|+|x-3|>-4$.