Matura rozszerzona, czerwiec 2012, zadanie 1

(4 pkt)
Rozwiąż nierówność $|x-2|+|x+1|\geq 3x-3$.

ROZWIĄZANIE:
Na początek zastanawiamy się z czym mamy do czynienia - jest to nierówność z wartością bezwzględną, z niewiadomą $x$. Jak się za nią zabieramy? Staramy się w jakiś sposób opuścić wartość bezwzględną, bo wtedy nierówność staje się trywialną:)
Korzystamy tutaj z definicji wartości bezwzględnej, którą to odnajdujemy w głowie lub tablicach maturalnych:

Aby rozpisać nasze wyrażenie rozważymy kolejne przypadki, sprawdzając, kiedy wyrażenie spod wartości bezwzględnej jest ujemne, a kiedy nieujemne. \[|x-2|+|x+1|\geq 3x-3\] Po kolei więc, pierwsza wartość bezwzględna przyjmuje postać: \[|x-2|=\left\{\begin{matrix}
x-2 & dla & x-2\geq 0\\
-(x-2) & dla & x-2< 0
\end{matrix}\right.\]Upraszczamy odrobinę, czyli pozbywamy się nawiasu w drugiej linijce i przenosimy wyraz wolny na drugą stronę nierówności: \[|x-2|=\left\{\begin{matrix}
x-2 & dla & x\geq 2\\
-x+2 & dla & x< 2
\end{matrix}\right.\] Tak samo postępujemy z drugą wartością bezwzględną: \[|x+1|=\left\{\begin{matrix}
x+1 & dla & x+1\geq 0\\
-(x+1) & dla & x+1<0
\end{matrix}\right.\]Znów upraszczamy: \[|x+1|=\left\{\begin{matrix}
x+1 & dla & x\geq -1\\
-x-1 & dla & x<-1
\end{matrix}\right.\]Widzimy, że wyrażenie przyjmie kolejne postaci, zależnie od przedziału, w który "wpadniemy". Myślę, że na poniższym rysunku widać to najlepiej:

Dostaliśmy jak widać trzy przedziały: $(-\infty;-1)$, $<-1;2)$ oraz $<2;+\infty)$. I w tych przedziałach pozbywamy się wartości bezwzględnej zgodnie z drugim schematem:) Oczywiście to, co było bez wartości bezwzględnej zostawiamy bez zmian! Przypadki, które dostaliśmy to: \[I. \left\{\begin{matrix} x\in(-\infty;-1)\\ -x+2-x-1\geqslant 3x-3 \end{matrix}\right.\]\[II.\left\{\begin{matrix} x\in<-1;2)\\ -x+2+x+1\geqslant 3x-3 \end{matrix}\right.\]\[III.\left\{\begin{matrix} x\in<2;+\infty)\\ x-2+x+1\geqslant 3x-3   \end{matrix}\right.\]Upraszczamy wyrażenia, redukując wyrazy podobne.\[I. \left\{\begin{matrix} x\in(-\infty;-1)\\ -2x+1\geqslant 3x-3 \end{matrix}\right.\]\[-5x\geqslant-4\]Nie zapominamy o zmianie znaku nierówności przy dzieleniu przez liczbę ujemną!\[x\leqslant \frac{4}{5}\]Pamiętamy też, że ta nierówność dotyczy przedziału $(-\infty;-1)$. Nakładamy więc warunki na siebie: \[I. \left\{\begin{matrix} x\in(-\infty;-1)\\ x\leqslant \frac{4}{5} \end{matrix}\right.\]Otrzymując $x\in(-\infty;-1)$ z pierwszego przypadku (I.).
Analogicznie rozwiązujemy drugi: \[II.\left\{\begin{matrix} x\in<-1;2)\\ -x+2+x+1\geqslant 3x-3 \end{matrix}\right.\]\[3\geqslant 3x-3\]\[6\geqslant 3x\]\[x\leqslant 2\]\[II.\left\{\begin{matrix} x\in<-1;2)\\ x\leqslant 2 \end{matrix}\right.\]\[x\in<-1;2)\]

I trzeci: \[III.\left\{\begin{matrix} x\in<2;+\infty)\\ x-2+x+1\geqslant 3x-3   \end{matrix}\right.\]\[2x-1\geqslant3x-3\]\[-x\geqslant -2\]\[x\leqslant 2\]\[III.\left\{\begin{matrix} x\in<2;+\infty)\\  x\leqslant 2  \end{matrix}\right.\]\[x\in\{2\}\]Teraz łączymy ze sobą wszystkie trzy przypadki: \[\left\{\begin{matrix}x\in(-\infty;-1)\\x\in<-1;2)\\x\in\{2\}\end{matrix}\right.\]Otrzymujemy w wyniku przedział, dla którego spełniona jest nierówność z zadania: \[x\in(-\infty;2>\]

ODPOWIEDŹ: Nierówność jest spełniona dla liczb z przedziału: $x\in(-\infty;2>$.

Zadanie domowe:
Rozwiąż nierówność $|2x+6|+|x-3|>-4$.