Matura rozszerzona, czerwiec 2012, zadanie 10

(4 pkt.)
Na płaszczyźnie dane są punkty $A=(3,-2)$ i $B=(11,4)$. Na prostej o równaniu $y=8x+10$ znajdź punkt $P$, dla którego suma $|AP|^2+|BP|^2$ jest najmniejsza.

ROZWIĄZANIE:

Zaczynamy od określenia współrzędnych punktu $P$. Standardowo, przyjmiemy, że $P=(x_P,y_P)$. Jednak wiemy coś poza tą informacją. Mianowicie, że punkt $P$ należy do prostej o równaniu $y=8x+10$. Co nam to daje? Możemy współrzędne punktu $P$ zapisać jako $$(x_P,y_P)=(x, 8x+10)$$ Wypiszmy teraz: $$A=(3,-2)\ \ \ \ \ \ \ B=(11,4)$$ $$P=(x, 8x+10)$$ Suma $|AP|^2+|BP|^2$ ma być najmniejsza. Jest to przecież suma kwadratów dwóch odległości. Przypomnijmy wzór, który oczywiście można znaleźć w tablicach.

Rozpiszmy więc: $$|AP|^2+|BP|^2=$$ $$=\Big(\sqrt{(x_P-x_A)^2+(y_P-y_A)^2}\Big)^2+\Big(\sqrt{(x_P-x_B)^2+(y_P-y_B)^2}\Big)^2$$ Pierwiastki oczywiście znikną i pozostanie policzyć wyrażenie $$(x_P-x_A)^2+(y_P-y_A)^2+(x_P-x_B)^2+(y_P-y_B)^2$$ Wstawiamy odpowiednie współrzędne: $$(x-3)^2+(8x+10+2)^2+(x-11)^2+(8x+10-4)^2$$ Upraszczamy w nawiasach, a następnie podnosimy do kwadratu: $$=(x-3)^2+(8x+12)^2+(x-11)^2+(8x+6)^2=$$ $$=x^2-6x+9+64x^2+192x+144+x^2-22x+121+64x^2+96x+36=$$ $$=130x^2+260x+310$$ Suma z treści zadania przyjmuje więc postać funkcji kwadratowej, której wykres ma ramiona skierowane do góry ($a=130>0$). W jakim miejscu ta funkcja kwadratowa przyjmie najmniejszą wartość? Oczywiście w wierzchołku! $$x_W=\frac{-b}{2a}$$ Wystarczy wstawić: $$x_W=\frac{-260}{2\cdot 130}\ =-1$$ Co to oznacza? - Suma z zadania będzie najmniejsza, jeśli w punkcie $P$ podstawimy za $x$ wartość $-1$. Daje to współrzędne punktu $$P=(x,8x+10)$$ równe dokładnie $$P=(-1,2)$$

Odpowiedź: Suma $|AP|^2+|BP|^2$ jest najmniejsza, gdy $P=(-1,2)$.

Zadanie domowe:
Na płaszczyźnie dane są punkty $A=(-1,-3)$ i $B=(10,-2)$. Na prostej o równaniu $y=-3x+2$ znajdź punkt $P$, dla którego suma $|AP|^2+|BP|^2$ jest najmniejsza.