Matura rozszerzona, czerwiec 2012, zadanie 7

(4 pkt)
Okrąg jest styczny do osi układu współrzędnych w punktach $A=(0,2)$ i $B=(2,0)$ oraz jest styczny do prostej $l$ w punkcie $C=(1,a)$, gdzie $a>1$. Wyznacz równanie prostej $l$.

ROZWIĄZANIE:
W takim zadaniu musimy przynajmniej "mniej-więcej" zaplanować nasze działania. Zaczynamy od tego, że mamy podane informacje o punktach styczności okręgu. To pozwala nam wyznaczyć jego środek i promień (wystarczy narysować układ współrzędnych i dokładnie na niego popatrzeć):\[S=(2,2),\ \ \ r=2.\]Dodatkowo wiemy, że punkt C jest punktem wspólnym prostej i okręgu, a więc na pewno spełnia równanie naszego okręgu! Musimy to równanie zapisać. Wzór oczywiście znajdziemy w tablicach:

Mamy dwie możliwości, ale użyjemy pierwszego wzoru, ponieważ mamy jawnie podany promień $r$ oraz współrzędne $a$ i $b$ środka okręgu.\[r=2, \ \ a=2, \ \ b=2\]Wstawiamy:\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\]\[(x-2)^2+(y-2)^2=2^2\]\[(x-2)^2+(y-2)^2=4\]Skoro punkt $C=(1,a)$ należy do okręgu to wstawmy jego współrzędne, do powyższego równania:\[(1-2)^2+(a-2)^2=4\]Rozpisując mamy:\[(-1)^2+a^2-4a+4=4\]Przenosząc na jedną stronę:\[1+a^2-4a+4-4=0\]otrzymamy\[a^2-4a+1=0\]- proste równanie kwadratowe. Rozwiążmy je - dzięki temu dostaniemy konkretną wartość $a$, a to znaczy, że będziemy mieć jawne współrzędne punktu C.\[\Delta=16-4\cdot 1 \cdot 1=12\]\[\sqrt{\Delta}=2\sqrt{3}\]\[a_1=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\ \ \ \vee\ \ \ a_2=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}\]Upraszczając:\[a_1=2+\sqrt{3}\ \ \ \vee\ \ \ a_2=2-\sqrt{3}\]Pamiętamy, że w treści zadania był warunek $a>1$, tym samym odrzucamy wartość $a_2$ jako sprzeczną z tym właśnie warunkiem. Nasz punkt C ma współrzędne: \[C=(1,2+\sqrt{3})\]Co dalej? Mamy wyznaczyć równanie prostej, stycznej do okręgu. Spójrzmy na rysunek:

Widzimy, że prosta $l$ jest prostopadła do prostej CS, którą łatwo wyznaczymy, ponieważ mamy oba punkty. Wzór ogólny dowolnej prostej to \[y=a_1x+b_1\]Wstawmy współrzędne punktu $S=(2,2)$, oraz punktu $C=(1,2+\sqrt{3})$.Dostaniemy układ równań\[\left\{\begin{matrix}2=2a_1+b_1\\2+\sqrt{3}=a_1+b_1\end{matrix}\right.\]Po odjęciu stronami:\[-\sqrt{3}=a_1\]Oczywiście możemy wyznaczyć także współczynnik $b_1$ prostej CS, ale nie jest on nam potrzebny. Natomiast dzięki współczynnikowi $a_1$, możemy wyznaczyć prostą prostopadłą - czyli naszą szukaną prostą $l$. Między dwiema prostymi prostopadłymi powinna zachodzić zależność:

Szukana prosta $l$ ma wzór ogólny \[y=a_2x+b_2\] i przechodzi przez punkt C. Z warunku prostopadłości dostajemy \[-\sqrt{3}\cdot a_2=-1\]\[a_2=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\]Jak znaleźć $b_2$? Wystarczy wstawić współrzędne punktu $C=(1,2+\sqrt{3})$ do wzoru \[y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+b_2\]\[2+\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 1+b_2\]\[2+\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=b_2\]\[b_2=2+\frac{2\sqrt{3}}{3}\]

Możemy teraz zapisać, że nasza prosta $l$ ma równanie:\[l:\ \ \ y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\Big(2+\frac{2\sqrt{3}}{3}\Big).\]

I jak? Trudne?

Zadanie domowe:
Okrąg jest styczny do osi układu współrzędnych w punktach $A=(0,-3)$ i $B=(-3,0)$ oraz jest styczny do prostej $l$ w punkcie $C=(-2,a)$, gdzie $a>-1$. Wyznacz równanie prostej $l$.