Matura rozszerzona, czerwiec 2012, zadanie 9

(3 pkt.)
Oblicz, ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 6 lub podzielnych przez 15.

ROZWIĄZANIE:

Zadanie na pierwszy rzut oka wydaje nam się proste, jednak musimy uważać. Dlaczego? Mamy do policzenia ilość liczb trzycyfrowych podzielnych przez 6 lub przez 15. Jest w tym jednak mały haczyk. Istnieją przecież liczby podzielne jednocześnie przez 6 i 15, a więc podzielne przez 30. Będziemy o tym pamiętać!
Od czego zaczynamy?
Zastanówmy się, ile jest w ogóle liczb trzycyfrowych... Zaczynamy od 100 i kończymy na 999. Liczymy ręcznie 100, 101, 102... Ręcznie?!?! żartuję!;-) Czemu zwracam na to uwagę? Bo popełniamy tu często błąd odejmowania. Wbrew pozorom tych liczb nie jest 899 a 900! Gdy odejmujemy, odejmujemy także tą pierwszą setkę, a jest to liczba trzycyfrowa. Musimy więc ją z powrotem doliczyć. Innym sposobem jest przykładowe policzenie ilości liczb od 10 do 19. Tu już można ręcznie:)

Liczb trzycyfrowych jest więc 900.
Z tego, zastanówmy się, ile jest liczb podzielnych przez 6? Tu już łatwiej $$900:6=150$$ Ile jest liczb podzielnych przez 15? $$900:15=60$$ A ile liczb podzielnych jednocześnie przez 6 i 15? A więc podzielnych przez 30 (jako najmniejszą wspólną wielokrotność)? $$900:30=30$$ Co z tymi liczbami zrobimy teraz? $$150+60-30=180$$ Dlaczego tak? Dodajemy do siebie ilość liczb podzielnych przez 6 i 15. W sumie tej, liczby podzielne przez 6 i 15 policzone zostały dwukrotnie, musimy więc odjąć ich ilość! Koniec zadania! 180 to nasz wynik.

Oczywiście można to zapisać w bardziej formalny sposób. Oznaczyć jako:

$A_6$ zbiór liczb podzielnych przez 6
$A_{15}$ zbiór liczb podzielnych przez 15
$A_{30}$ zbiór liczb podzielnych przez 30

Ich liczność (oznaczamy w pionowych kreskach) to:
$|A_6|=150$
$|A_{15}|=60$
$|A_{30}|=30$,
co zostało policzone wyżej.
O co nas pytają w zadaniu? - O policzenie liczności $|A_6\cup A_{15}|$ Rozpisujemy: $$|A_6\cup A_{15}|=|A_6|+|A_{15}|-|A_6\cap A_{15}|$$ A to jest przecież $$|A_6|+|A_{15}|-|A_{30}|$$ czyli $$|A_6\cup A_{15}|=150+60-30=180$$
Wychodzi na to samo.

Na maturze oczywiście nie zapominamy o odpowiedzi do zadania (nie bójcie się, zazwyczaj jest określone miejsce na odpowiedź).

ODPOWIEDŹ: Liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 6 lub 15 jest 180.

Zadanie domowe:
(3 pkt.)
Oblicz, ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 2 lub podzielnych przez 5.