Matura rozszerzona, czerwiec 2012, zadanie 4

(5 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $2x^2+(3-2m)x-m+1=0$ ma dwa różne pierwiastki $x_1,\ x_2$ takie, że $|x_1-x_2|=3$.

ROZWIĄZANIE:
Dla tych, którzy uważali na lekcjach matematyki - nie powinno być problemu. Moja nauczycielka na samym początku pytała - co to za równanie? Odpowiedź nie jest trudna - jest to równanie kwadratowe z niewiadomą $x$ i parametrem $m$. Po co pytała? Kiedyś myślałam, że się czepia... Dziś wiem, że dzięki temu nigdy nie myliłam się w rozróżnianiu zmiennej, parametru i zawsze wiedziałam z czym mam do czynienia:)
Wracając do zadania - rozwiążemy nierówność, może zastosujemy osławione wzory Viete'a... Nie martwcie się na zapas - je także znajdziecie w tablicach maturalnych.

Zacznijmy więc od uważnego przeczytania zadania i wypisania istotnych warunków. Po pierwsze chcemy mieć dwa różne pierwiastki - ten warunek znany jest nam jako narzucenie delty silnie większej od zera. Moglibyśmy szukać kolejnych warunków, ale nie ma gdzie. Dodatkowa informacja jest nam z góry narzucona i jest w postaci "jawnej": $|x_1-x_2|=3$. Zapiszmy więc porządnie: $$\left\{\begin{matrix}\Delta>0\\|x_1-x_2|=3\end{matrix}\right.$$ A także wypiszmy współczynniki trójmianu, aby przypadkiem nie odczytać ich w pośpiechu ze złym znakiem: $$a=2,\ \ b=3-2m,\ \ c=-m+1.$$

Rozpiszmy pierwszy warunek: $$\Delta>0.$$ Pamiętajmy skąd on się wziął. W treści zadania jest wymóg dwóch różnych pierwiastków. Napisanie $\Delta\geqslant 0$ spowodowałoby błąd i brak punktów. Uważajcie więc na takie drobne błędy, które mogą się wkradać do Waszych rozwiązań. Naprawdę szkoda punktów...
Do dzieła!  $$\Delta>0$$ $$\Delta=b^2-4ac$$ Podstawiamy nasze współczynniki: $$\Delta=(3-2m)^2-4\cdot 2\cdot(-m+1)$$ $$\Delta=9-12m+4m^2+8m-8$$ $$\Delta=4m^2-4m+1$$ Dalej: $$\Delta>0\ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ 4m^2-4m+1>0$$ Rozwiązując nasz warunek pojawia się nierówność kwadratowa, łatwo jednak zauważyć, że jest tam wzór skróconego mnożenia. $$(2m-1)^2>0$$ Co daje: $$2m-1\not =0$$ $$2m\not =1$$ $$m\not =\frac{1}{2}.$$ Jest to wynik naszego pierwszego warunku, pamiętamy o nim do końca zadania.

Teraz pora na drugi: $$|x_1-x_2|=3$$ I co? Napisałam, że będą wzory Viete'a, jednak coś ich nie widać... Ale pomyślmy, jak pozbyć się wartości bezwzględnej... Jeden sposób to rozpisać na dwa przypadki (odpada - i tak nie będzie Viete'a), drugi sposób to podnieść równanie obustronnie do kwadratu. Tak też zrobimy. Oczywiście pierwsza metoda też doprowadziłaby nas do rozwiązania, ale myślę, że byłoby to dużo dłuższe i bardziej pracochłonne. Podnosimy więc do kwadratu! $$(x_1-x_2)^2=9$$ $$x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=9$$ Zaraz, zaraz... dalej nie ma Viete'a!!! Pokażę Wam małą sztuczkę, którą pewnie większość zna. Zwijam dodawanie (aby mieć pierwszy wzór Viete'a) pod kwadrat a nadwyżkę (czyli mnożenie - drugi wzór) odejmuję. Zobaczcie: $$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=9$$ Sprawdźcie, czy wszystko się zgadza! W tym momencie możemy już podstawić wzory (tak...nareszcie!!!): $$\Big(\frac{-b}{a}\Big)^2-4\cdot \frac{c}{a}=9$$ Wstawiam współczynniki trójmianu: $$\Big(\frac{-(3-2m)}{2}\Big)^2-4\cdot \frac{-m+1}{2}=9$$ Porządkuję... $$\frac{4m^2-12m+9}{4}+2m-2=9$$ Mnożę przez 4, pozbywając się mianownika, (pamiętaj! obustronnie): $$4m^2-12m+9+8m-8=36$$ Porządkuję i przenoszę na jedną stronę: $$4m^2-4m-35=0$$ Tu mam do czynienia z równaniem kwadratowym o niewiadomej $m$. Trzeba policzyć kolejną deltę: $$\Delta_m=16+4\cdot4\cdot35=576$$ $$\sqrt{\Delta_m}=24$$ $$m_1=\frac{4+24}{8}=\frac{7}{2}\ \ \ \vee\ \ \ m_2=\frac{4-24}{8} =\frac{-5}{2}.$$

Tym samym z obu warunków wyznaczyliśmy konkretne wartości parametru $m$: $$\left\{\begin{matrix}m\not=\frac{1}{2}\\m=\frac{7}{2}\vee m=-\frac{5}{2}\end{matrix}\right.$$ Szukamy części wspólnej warunków, otrzymując ostatecznie: $$m=\frac{7}{2}\ \ \ \vee\ \ \ m=\frac{-5}{2}$$ .

Zapisujemy porządną odpowiedź: $$m\in\{-2\frac{1}{2}, 3\frac{1}{2}\}$$

Zadanie domowe:
Wyznacz wszystkie wartości parametru $k$, dla których równanie $x^2-3kx+2k^2=0$ ma dwa różne pierwiastki $x_1,\ x_2$ takie, że $|x_1-x_2|=2$.