Matura rozszerzona, zadanie 1

Narysuj wykres funkcji $y=\sqrt{x^2+4x+4}-3|x+1|$. 

Kłaczkow, Kurczab, Świda, kl. I, zadanie 9.55 h

ROZWIĄZANIE:

Brzydko to wygląda... Nie dość, że wartość bezwzględna to jeszcze pierwiastek:( Musimy się go pozbyć. Zauważamy, że pod nim znajduje się wyrażenie, które zwija się we wzór skróconego mnożenia! $$x^2+4x+4=(x+2)^2$$ Skoro tak jest, zapisujemy wzór naszej funkcji używając tego "zwinięcia": $$y=\sqrt{(x+2)^2}-3|x+1|$$ Kwadrat i pierwiastek drugiego stopnia znoszą się. Jednak nie tak jak zwykle.
ZAPAMIĘTAJ: $$\sqrt{x^2}=|x|$$

Otrzymujemy więc: $$y=|x+2|-3|x+1|$$ Teraz wypadałoby pozbyć się wartości bezwzględnej. Robiliśmy to już wcześniej. Powtórzmy zatem:

Po kolei więc, pierwsza wartość bezwzględna przyjmuje postać: $$|x+2|=\left\{\begin{matrix} x+2 & dla & x+2\geq 0\\ -(x+2) & dla & x+2< 0 \end{matrix}\right.$$ Upraszczamy odrobinę, czyli pozbywamy się nawiasu w drugiej linijce i przenosimy wyraz wolny na drugą stronę nierówności: $$|x-2|=\left\{\begin{matrix} x+2 & dla & x\geq -2\\ -x-2 & dla & x< -2 \end{matrix}\right.$$ Tak samo postępujemy z drugą wartością bezwzględną: $$|x+1|=\left\{\begin{matrix} x+1 & dla & x+1\geq 0\\ -(x+1) & dla & x+1<0 \end{matrix}\right.$$ Znów upraszczamy: $$|x+1|=\left\{\begin{matrix} x+1 & dla & x\geq -1\\ -x-1 & dla & x<-1 \end{matrix}\right.$$ Widzimy, że wyrażenie przyjmie kolejne postaci, zależnie od przedziału, w który "wpadniemy". Zobaczmy na rysunek:

Nasz wzór funkcji przyjmie więc różne postaci w każdym z trzech powstałych przedziałów. Wypiszmy je: $$(-\infty;-2)\ \ \ \ <-2;-1)\ \ \ \ <-1;+\infty)$$ Nasz wzór funkcji rozpisujemy zgodnie z drugim schematem: $$y=|x+2|-3|x+1|=\left\{\begin{matrix} (-x-2)-3\cdot(-x-1)& dla & (-\infty;-2)\\ (x+2)-3\cdot(-x-1) & dla & <-2;-1)\\ (x+2)-3\cdot(x+1) & dla & <-1;+\infty)\end{matrix}\right.$$ Opuszczamy nawiasy, i upraszczamy wyrażenie $$y=\left\{\begin{matrix} -x-2+3x+3& dla & (-\infty;-2)\\ x+2+3x+3 & dla & <-2;-1)\\ x+2-3x-3 & dla & <-1;+\infty)\end{matrix}\right.$$ $$y=\left\{\begin{matrix} 2x+1 & dla & (-\infty;-2)\\ 4x+5 & dla & <-2;-1)\\ -2x-1 & dla & <-1;+\infty)\end{matrix}\right.$$

Teraz trzeba narysować. Wszystkie trzy to funkcje liniowe obcięte do konkretnych przedziałów.
Wyznaczmy za pomocą tabelki, przez jakie punkty przechodzą te trzy proste:
- pierwsza $y=2x+1$ dla $x\in(-\infty;-2)$: $$\begin{vmatrix}x & -3 & -2\\y & -5 & -3\end{vmatrix}$$

-druga  $y=4x+5$ dla $x\in<-2;-1)$: $$\begin{vmatrix}x & -2 & -1\\y & -3 & 1\end{vmatrix}$$

- trzecia $y=-2x-1$ dla $x\in<-1;+\infty)$: $$\begin{vmatrix}x & -1 & 0\\y & 1 & -1\end{vmatrix}$$

Normalnie narysowalibyśmy te funkcje w następujący sposób:

Pamiętamy jednak o tym, że należy skrócić proste, do wyznaczonych wcześniej przedziałów. Otrzymamy wykres zaznaczony na czerwono:

Uważajcie jednak, bo czasem mogą powstać "skoki" - to znaczy, że mogłoby się okazać, że funkcja nie "klei się" na końcach przedziałów. Wtedy oczywiście zaznaczamy kółka puste/pełne, w zależności od otwartego/domkniętego przedziału. Na pewno kiedyś wpadnie mi pod rękę taki przykład to pokażę o co chodzi:-)

Zadanie domowe:
Narysuj wykres funkcji $y=|x-5|-2\sqrt{x^2+2x+1}$.