Matura podstawowa, czerwiec 2012, zadanie 8

Krótszy bok prostokąta ma długość 6. Kąt między przekątną prostokąta i dłuższym bokiem ma miarę $30^{\circ}$. Dłuższy bok prostokąta ma długość:
A. $2\sqrt{3}$
B. $4\sqrt{3}$
C. $6\sqrt{3}$
D. $12$

ROZWIĄZANIE:

Zaczniemy od rysunku. Oczywiście zaznaczymy znane nam wartości - długość boku i kąt. A jako $x$ szukaną wartość długości boku prostokąta.

Oczywiście wiemy, że mamy do czynienia z trójkątem $30^{\circ},\ 60^{\circ},\ 90^{\circ}$. Jeżeli znamy jego własności - korzystamy z tego. Można także dorysować sobie symetryczny trójkąt o tych samych kątach, aby otrzymać równoboczny (pokazywałam to w którymś zadaniu).

My jednak pójdziemy najkrótszą drogą - drogą funkcji trygonometrycznych kąta ostrego. Musimy mieć taką, która łączy przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta z drugą przyprostokątną. Oczywiście będzie to funkcja tangens. $$\tan \alpha =\frac{6}{x}$$ Odczytujemy z tabelki w tablicach maturalnych, że: $$\tan \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}.$$ Tak więc: $$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{6}{x}\ \ \ \ |^{\cdot x}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{3}x=6\ \ \ \ |^{\cdot \frac{3}{\sqrt{3}}}$$ $$x=\frac{18}{\sqrt{3}}$$ Sprawdzamy, czy mamy taki wynik - oczywiście nie! A to dlatego, że trzeba jeszcze uwymiernić:-) $$x=\frac{18}{\sqrt{3}}\cdot \frac{ \sqrt{3} }{\sqrt{3}}= \frac{18 \sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}.$$ Tym razem możemy zaznaczyć poprawną odpowiedź.
ODPOWIEDŹ: C.

Zadanie domowe:

Krótszy bok prostokąta ma długość $2\sqrt{3}$. Kąt między przekątną prostokąta i dłuższym bokiem ma miarę $60^{\circ}$. Dłuższy bok prostokąta ma długość:

A. $2\sqrt{3}$

B. $2$

C. $6\sqrt{3}$

D. $6$

PS: Pamiętajcie, że do całego arkusza z matury podstawowej z sierpnia 2012, możecie wrócić w bardzo łatwy sposób - wystarczy zarejestrować się na portalu educadvisor - można to zrobić np. przez facebooka, czyli szybko, łatwo i przyjemnie. Znajdziecie tam oryginalny arkusz i uporządkowane zadania:-) Zapraszam - oto LINK :-)