Matura rozszerzona, zadanie 2

Udowodnij, że:
a) $\cos \frac{\pi}{5}\cdot \cos \frac{2\pi}{5}=\frac{1}{4}$
b) $\cos \frac{\pi}{5}\cdot \cos \frac{3\pi}{5}=-\frac{1}{4}$

Kłaczkow, Kurczab, Świda, kl. III, zadanie 5.25*

ROZWIĄZANIE:

Nie jest to może typowe zadanie na maturę rozszerzoną, ponieważ jest dość trudne, ale bardzo mi się spodobało. Zadanie pochodzi ze zbioru, z którego sama korzystałam w liceum, autorzy to Kłaczkow, Kurczab i Świda - oznaczone jest jako 5.25*. Ale nam gwiazdki nie straszne i zabieramy się za rozwiązanie.

Zaczniemy od wykazania podpunktu "a" i następnie skorzystamy z niego w "b". Oczywiście brakuje pomysłu co zrobić z naszym wyrażeniem:  $$\cos \frac{\pi}{5}\cdot \cos \frac{2\pi}{5}=\frac{1}{4}$$ Zauważamy, że jeden z kątów jest podwojeniem drugiego. Może na tym możemy oprzeć nasze rozumowanie? Zastanawiamy się - jak z tego mniejszego zrobić ten podwojony. Odpowiedź jest prosta, ponieważ znamy wzory na funkcje trygonometryczne podwojonego kąta. Wśród nich oczywiście ten: $$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cdot\cos \alpha$$ Naszym $\alpha$ jest oczywiście $\frac{\pi}{5}$. W wyrażeniu jest już $\cos\frac{\pi}{5}$. Chcemy otrzymać  $$\sin\frac{2\pi}{5}  =\underline{2\sin \frac{\pi}{5}} \cdot\cos \frac{\pi}{5}$$ Brakuje oczywiście podkreślonej części. Jak zrobić, by pojawiła się w naszym wyrażeniu? Po prostu dopisać w liczniku i mianowniku - można, bo $\sin\frac{\pi}{5}\not=0$ a mnożenie przez takie wyrażenie to tak naprawdę mnożenie przez $1$:
$$\frac{2\sin \frac{\pi}{5}}{2\sin \frac{\pi}{5}}\cdot\cos \frac{\pi}{5} \cdot \cos \frac{2\pi}{5}\ =\frac{1}{4}$$
$$\frac{\color{Blue}{2\sin\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{\pi}{5}} \cdot \cos \frac{2\pi}{5}}{2\sin \frac{\pi}{5}}\ \ =\frac{1}{4}$$ Możemy zastosować wzór na sinus podwojonego kąta. $$\frac{\sin \frac{2\pi}{5} \cdot \cos \frac{2\pi}{5}}{2\sin \frac{\pi}{5}}\ =\frac{1}{4}$$ Widzimy, że jeśli ponownie domnożymy licznik i mianownik - tym razem przez $2$ - znów otrzymamy sinus podwojonego kąta! $$\frac{2}{2}\cdot \frac{\sin \frac{2\pi}{5} \cdot \cos \frac{2\pi}{5}}{2\sin \frac{\pi}{5}}\ =\frac{1}{4}$$ $$\frac{\color{Blue}{2\sin \frac{2\pi}{5} \cdot \cos \frac{2\pi}{5}}}{4\sin \frac{\pi}{5}}\ =\frac{1}{4}$$ Zwijamy zgodnie ze wzorem, który już stosowaliśmy: $$\frac{\sin \frac{4\pi}{5}}{4\sin \frac{\pi}{5}}=\frac{1}{4}$$ Ponieważ ja nie lubię ułamków, pomnóżmy na krzyż i skróćmy $4$. $$4\sin \frac{4\pi}{5}=4\sin \frac{\pi}{5}$$ $$\sin \frac{4\pi}{5}=\sin \frac{\pi}{5}$$ No więc te sinusy powinny być sobie równe, jeśli mamy faktycznie dowieść naszej równości. Oczywiście będą! Zachodzi bowiem zależność: $$\sin \alpha =\sin \left ( \pi-\alpha  \right ).$$ Stąd: $$\sin \frac{\pi}{5} =\sin \left ( \pi- \frac{\pi}{5} \right )=\sin \frac{4\pi}{5}$$ $$L=P$$ Kończymy dowód "a".

Jak wykorzystamy nasze rozumowanie w dowodzeniu podpunktu "b"? $$\cos \frac{\pi}{5}\cdot \cos \frac{3\pi}{5}=-\frac{1}{4}$$ Widzimy, że powtórzenie rozumowania na nic by się zdało. Podwajając mniejszy kąt nie dostaniemy już tego drugiego, który podwoimy ponownie. Może nas jednak olśnić, że jest związek między kątami $\frac{3\pi}{5}$ a $\frac{2\pi}{5}$ Jaki? $$\pi-\frac{3\pi}{5}=\frac{2\pi}{5}$$ Nasz kąt $\frac{3\pi}{5}$ jest pod cosinusem. Znajdujemy więc zależność: $$\cos \alpha =-\cos \left ( \pi-\alpha  \right ).$$ Wstawiamy nasz kąt: $$\cos \frac{3\pi}{5} =-\cos \left ( \pi-\frac{3\pi}{5}  \right )=-\cos\frac{2\pi}{5}.$$ Zamieńmy więc odpowiedniego cosinusa w treści zadania: $$\cos \frac{\pi}{5}\cdot \cos \frac{3\pi}{5}=-\frac{1}{4}$$ $$\cos \frac{\pi}{5}\cdot (-\cos\frac{2\pi}{5})=-\frac{1}{4}$$ Oczywiście minusy stronami można uprościć i dostajemy dokładnie treść podpunktu "a": $$\cos \frac{\pi}{5}\cdot \cos \frac{2\pi}{5}=\frac{1}{4}$$ A pokazaliśmy, że $$L=P$$

Dowiedliśmy obu równości.