Matura podstawowa, sierpień 2012, zadanie 30

(2 pkt)
Dany jest równoległobok $ABCD$. Na przedłużeniu przekątnej $AC$ wybrano punkt $E$ tak, że $|CE|=\frac{1}{2}|AC|$ (zobacz rysunek). Uzasadnij, że pole równoległoboku $ABCD$ jest cztery razy większe od pola trójkąta $DCE$.

ROZWIĄZANIE:

Planimetria plus zadanie typu "wykaż/udowodnij/uzasadnij" to zmora maturzystów. I szczerze mówiąc wcale Wam się nie dziwię. Ogólnie zadania z planimetrii są zadaniami trudnymi. Niejednokrotnie, trzeba coś zauważyć, na coś wpaść, żeby przebrnąć przez zadanie.
Można jednak nauczyć się paru sztuczek, spróbuję Wam je pokazać przy różnych zadaniach:-)

Tak więc: jeżeli zadanie dotyczy pól, to na pewno będziemy musieli te pola jakoś zapisać, policzyć. Niekoniecznie na liczbach, ale na oznaczeniach, które sobie wprowadzimy.

Wiemy, że przekątna równoległoboku $ABCD$ jest dwa razu dłuższa od odcinka $CE$. Poza tym, popatrzmy na trójkąt $ACD$ oraz $DCE$. Mają wspólną wysokość - dokładnie jak na zaznaczonym rysunku. Pamiętamy oczywiście, że wysokość trójkąta może być poprowadzona na przedłużenie boku, jeśli mamy do czynienia z trójkątem rozwartokątnym, a przecież taki jest $DCE$.

Do czego mamy dojść? \[P_{ABCD}=4\cdot P_{DCE}\]

No to najpierw policzmy pole trójkąta $ACD$:\[P_{ACD}=\frac{a\cdot h}{2}\]Naszą podstawą jest $2x$, wysokością $h$. Mamy więc \[P_{ACD}=\frac{2x\cdot h}{2}=\frac{2hx}{2}=hx\]Równoległobok $ABCD$ składa się z dwóch trójkątów takich jak $ACD$. W związku z tym, jego pole wynosi:\[P_{ABCD}=2\cdot P_{ACD}=2hx\]

Teraz pora policzyć pole trójkąta $DCE$. Jak już powiedzieliśmy, jego wysokością jest $h$, która pada na przedłużenie boku $CE$, którego to długość wynosi $x$. Wstawiamy więc do klasycznego wzoru na pole:\[P=\frac{a\cdot h}{2}\ =\frac{x\cdot h}{2}=\frac{1}{2}hx\]

Pozostaje sprawdzić, czy pola $ABCD$ i $DCE$ spełniają warunek:\[P_{ABCD}=4\cdot P_{DCE}\]Wstawiamy nasze wyliczone wartości\[2hx=4\cdot \frac{1}{2}hx\]\[2hx=2hx\]\[L=P\]I formalnie rzecz biorąc jest to koniec uzasadnienia - piszemy "co należało pokazać".

Zadanie domowe:

(2 pkt)
Dany jest równoległobok $ABCD$. Na przedłużeniu przekątnej $AC$ wybrano punkt $E$ tak, że $|CE|=\frac{1}{3}|AC|$ (wykonaj rysunek). Uzasadnij, że pole równoległoboku $ABCD$ jest sześć razy większe od pola trójkąta $DCE$.