Matura rozszerzona, czerwiec 2012, zadanie 11

(5 pkt.)
Podstawą ostrosłupa $ABCS$ jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AB|=30$, $|BC|=|AC|=39$ i spodek wysokości ostrosłupa należy do jego podstawy. Każda wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka $S$ ma długość $26$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

ROZWIĄZANIE:

Powiem Wam szczerze, że jest to najtrudniejsze zadanie z matury rozszerzonej jak dotąd! Wciąż jednak potrafię je rozwiązać, a to znaczy, że wcale nie jest takie złe.

Od czego więc zaczynamy? Jak przystało na stereometrię - od rysunku. Na bordowo zaznaczyłam wysokość ostrosłupa $H$. Pada on na podstawę w punkcie O, który jest spodkiem wysokości ostrosłupa. Na zielono zaznaczone są wysokości ścian bocznych, które według treści zadania mają długość 26 każda. Oczywiście wysokości rysujemy pod kątem prostym, więc na zielono pokazane są odpowiednie kąty mające po 90 stopni. Także kąt $\sphericalangle SOD=90^{\circ}$.

Zaznaczyłam też od razu tajemnicze pomarańczowe linie, które okażą się niezwykle pomocne.

Zaczynamy więc od upewnienia się, co mamy policzyć w treści zadania. Jest to objętość. Wypisujemy odpowiedni wzór na objętość ostrosłupa: $$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H$$ Trzeba będzie policzyć pole, oraz długość wysokości ostrosłupa $H$ (zawsze jako małe $h$ oznaczajcie inne wysokości, a jako duże $H$, wysokość bryły). Zaczynamy od pola podstawy. Możemy je policzyć na dwa sposoby:

sp. I -  z wzoru Herona - mamy bowiem podane długości trzech boków: $$a=30,\ \ \ b=39,\ \ \ c=39$$

Nasz wzór to ten ostatni, w tablicach przeczytamy, że małe $p$ oznacza połowę obwodu trójkąta. Policzmy zatem: $$p=\frac{a+b+c}{2}\ = \frac{30+39+39}{2}\ = \frac{108}{2}\ = 54$$ I przejdźmy do wyliczenia pola: $$P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{54\cdot (54-30)\cdot (54-39)\cdot (54-39)}=$$ $$=\sqrt{54\cdot 24\cdot 15 \cdot 15}= \sqrt{291600}=540$$

Nasze pole, a więc pole podstawy ostrosłupa to 540 $$P_p=540.$$

sp. II - podstawa ostrosłupa jest trójkątem równoramiennym, więc łatwo wyliczymy wysokość (z twierdzenia Pitagorasa), a następnie wstawimy ją do klasycznego wzoru na pole trójkąta:) Spróbujcie sami!

---> Celowo pokazałam sposób pierwszy, bo często pamiętamy tylko jeden wzór na pole. Dobrze jest wbić sobie do głowy, że tych wzorów jest kilka, jeśli nawet nie kilkanaście:-)

Mamy już pole podstawy, zostaje policzyć nam wysokość $H$ ostrosłupa.

Tu właśnie skorzystamy z pomarańczowych odcinków. Zwróćmy uwagę, że trójkąty prostokątne $SOD$, $SOE$ i $SOF$ są przystające - mają wspólny bok, będący wysokością ostrosłupa, a także mają jednakowe  przeciwprostokątne równe 26. Wynika z tego, że spodek wysokości ostrosłupa będzie środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ - pomarańczowe odcinki to promienie tego okręgu:) Przyjrzyjmy się trójkątowi $SOD$. Celowo odpowiednie odcinki są tego samego koloru, co na rysunku wyżej - porównajcie:

Aby znaleźć długość $H$ wypadałoby mieć długość $r$. Skąd? Spójrzmy jeszcze raz na wzory na pole trójkąta, naszej podstawy. Obok wzoru Herona, jest wzór zawierający $r$! Skorzystamy z niego $$P_p=540$$ $$P_p=p\cdot r$$ Wstawmy znane wartości: $$540=54\cdot r$$ $$r=\frac{540}{54}=10$$

W tym momencie mamy wszystko co nam potrzebne. Z twierdzenia Pitagorasa wyliczamy długość $H$: $$r^2+H^2=26^2$$ $$10^2+H^2=26^2$$ $$100+H^2=676$$ $$H^2=676-100$$ $$H^2=576$$ $$H=24$$

Pamiętamy, że wszystko to liczyliśmy, by móc podać objętość ostrosłupa. Wstawiamy więc policzone pole podstawy $P_p=540$ i wysokość $H=24$ do wzoru na objętość: $$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot 540\cdot 24$$ $$V=4320$$

ODPOWIEDŹ: Objętość ostrosłupa to 4320.

Zadanie domowe:
Podstawą ostrosłupa $ABCS$ jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AB|=24$, $|BC|=|AC|=13$ i spodek wysokości ostrosłupa należy do jego podstawy. Każda wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka $S$ ma długość $20$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

(może wyjść "brzydki wynik, ponieważ ciężko mi dopasować ładnie pierwiastkujące się długości boków)