Matura rozszerzona, czerwiec 2012, zadanie 12

(3 pkt.)

Zdarzenia losowe $A$, $B$ są zawarte w $\Omega$ oraz $P(A\cap{B}')=0,1$ i $P({A}'\cap B)=0,2$. Wykaż, że $P(A\cap B)\leqslant 0,7$ (${A}'$ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia $A$, ${B}'$ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia $B$).

ROZWIĄZANIE:

Na początku narysujmy zbiory o których mowa.

$A\cap{B}'$ - czyli część wspólna zbioru A i dopełnienia zbioru B
Prawdopodobieństwo z treści zadania to $P(A\cap{B}')=0,1$

${A}'\cap B$ - czyli część wspólna zbioru A i dopełnienia zbioru B
Prawdopodobieństwo z treści zadania to $P({A}'\cap B)=0,2$

Mamy pokazać, że $P(A\cap B)\leq 0,7$. Znów pokażmy jak to wygląda:

Co zauważamy? Dwie rzeczy:
(1) te trzy narysowane zdarzenia są między sobą rozłączne
(2) suma tych zdarzeń daje $A\cup B$

Zapiszmy! $$(A\cap {B}')\cup ({A}'\cap B)\cup (A\cap B)=A\cup B$$ Obłóżmy wszystko prawdopodobieństwem: $$P\Big((A\cap {B}')\cup ({A}'\cap B)\cup (A\cap B)\Big)=P(A\cup B)$$ Korzystamy z tego, że zdarzenia są rozłączne, więc prawdopodobieństwo sumy będzie sumą prawdopodobieństw. $$P(A\cap {B}')+P({A}'\cap B)+P (A\cap B)=P(A\cup B)$$ Co jeszcze wiemy? Że zdarzenia $A$ i $B$ są zawarte w $\Omega$. $$A,B\subset \Omega$$ Z tego wynika, że $$A\cup B\subset \Omega$$ Gdy obłożymy to prawdopodobieństwem, otrzymamy: $$P(A\cup B)\leq P(\Omega)=1$$ Skorzystamy z tego w naszym wyrażeniu  $$P(A\cap {B}')+P({A}'\cap B)+P (A\cap B))=P(A\cup B)\leq 1$$ Wstawmy znane z treści zadania wartości prawdopodobieństw: $$0,1+0,2+P (A\cap B))\leq 1$$ I przenieśmy "wiadome" na prawą stronę równania: $$P (A\cap B))\leq 1-0,1-0,2$$ $$P (A\cap B))\leq 0,7$$ Czym kończymy dowód:-)

Zadanie domowe:

Zdarzenia losowe $A$, $B$ są zawarte w $\Omega$ oraz $P(A\cap{B}')=0,3$ i $P({A}'\cap B)=0,2$. Wykaż, że $P(A\cap B)\leqslant 0,5$ (${A}'$ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia $A$, ${B}'$ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia $B$).