Matura podstawowa, sierpień 2012, zadanie 32

(4 pkt)
Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$ oraz $A=(2,1)$ i $C=(1,9)$. Podstawa tego trójkąta jest zawarta w prostej $y=\frac{1}{2}x$. Oblicz współrzędne wierzchołka $B$.

ROZWIĄZANIE:

Na początku zapisujemy, że punkt $B$ ma standardowe współrzędne: $$B=(x_B,y_B).$$ Z treści zadania wiemy, że podstawa trójkąta jest zawarta w prostej o danym równaniu. Podstawą tą jest $AB$. W związku z tym skoro cała podstawa należy do danej prostej, będzie należeć do niej także punkt $B$. Co to daje? Jeśli dany punkt należy do prostej, musi spełniać jej równanie, a więc: $$y_B=\frac{1}{2}x_B$$ Współrzędne punktu B, możemy zapisać teraz jako: $$B=(x_B,\frac{1}{2}x_B).$$

Ponadto wiemy, że mamy do czynienia z trójkątem równoramiennym. Ramionami są $AC$ i $BC$. Policzmy więc ich długości, korzystając z tablicowego wzoru na odległość dwóch punktów:

U nas będziemy mieć: $$|AC|=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}$$ $$|AC|=\sqrt{(1-2)^2+(9-1)^2}$$ $$|AC|=\sqrt{(-1)^2+(8)^2}=\sqrt{1+64}=\sqrt{65}$$

Analogicznie policzymy długość $BC$: $$|BC|=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}$$ $$|AC|=\sqrt{(1-x_B)^2+(9-y_B)^2}$$ Wstawiamy $y_B=\frac{1}{2}x_B$: $$|AC|=\sqrt{(1-x_B)^2+(9-\frac{1}{2}x_B)^2}$$
Są to długości ramion trójkąta równoramiennego. Oczywiście (mamy nawet zapisane w treści) te długości są sobie równe $$|AC|=|BC|$$ więc: $$\sqrt{65}=\sqrt{(1-x_B)^2+(9-\frac{1}{2}x_B)^2}$$ Chcemy pozbyć się pierwiastka, więc podnosimy obustronnie do kwadratu: $$65=(1-x_B)^2+(9-\frac{1}{2}x_B)^2$$ Następnie podnosimy co trzeba do kwadratu, pamiętając o wzorze skróconego mnożenia $$(a-b)^2=a^2-2ab-b^2$$ Dostaniemy: $$65=1-2x_B+x_B^2+81-9x_B+\frac{1}{4}x_B^2$$ Przenosimy $65$ na prawą stronę i redukujemy: $$0=1-2x_B+x_B^2+81-9x_B+\frac{1}{4}x_B^2-65$$ $$0=\frac{5}{4}x_B^2-11x_B+17$$ Nie wiem jak Wy, ale ja nie lubię ułamków, dlatego pomnożę obie strony przez $4$: $$0=5x_B^2-44x_B+68$$ No i dotarliśmy do równania kwadratowego:-) $$\Delta=b^2-4ac$$ $$\Delta=(-44)^2-4\cdot 5 \cdot 68=1936-1360=576$$ $$\sqrt{\Delta}=\sqrt{576}=24$$ $$x_{B_1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ $$x_{B_2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$ Po wstawieniu współczynników trójmianu i pierwiastka z delty, dostajemy: $$x_{B_1}=\frac{44-24}{2\cdot 5}=\frac{20}{10}=2$$ $$x_{B_2}=\frac{44+24}{2\cdot 5}=\frac{68}{10}$$ Pamiętamy, że $y_B=\frac{1}{2}x_B$. Pierwsza możliwość to: $$x_B=2\ \ \ y_B=\frac{1}{2}\cdot 2=1$$ - ten punkt wystąpił jednak w treści zadania - odrzucamy go.

Druga z możliwości: $$x_B=\frac{68}{10}\ \ \ y_B=\frac{1}{2}\cdot \frac{68}{10}=\frac{68}{20}$$ To będą szukane współrzędne punktu. Oczywiście da się uprościć: $$x_B=\frac{34}{5}\ \ \ y_B=\frac{17}{5}$$ Na koniec zapisujemy: $$B=(\frac{34}{5},\frac{17}{5})$$

ODPOWIEDŹ: Punkt $B$ ma współrzędne $B=(\frac{34}{5},\frac{17}{5})$.

Zadanie domowe:

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$ oraz $A=(-1,-3)$ i $C=(-4,5)$. Podstawa tego trójkąta jest zawarta w prostej $y=3x$. Oblicz współrzędne wierzchołka $B$.