Matura podstawowa, sierpień 2012, zadanie 32

(4 pkt)
Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$ oraz $A=(2,1)$ i $C=(1,9)$. Podstawa tego trójkąta jest zawarta w prostej $y=\frac{1}{2}x$. Oblicz współrzędne wierzchołka $B$.

ROZWIĄZANIE:

Na początku zapisujemy, że punkt $B$ ma standardowe współrzędne:\[B=(x_B,y_B).\]Z treści zadania wiemy, że podstawa trójkąta jest zawarta w prostej o danym równaniu. Podstawą tą jest $AB$. W związku z tym skoro cała podstawa należy do danej prostej, będzie należeć do niej także punkt $B$. Co to daje? Jeśli dany punkt należy do prostej, musi spełniać jej równanie, a więc:\[y_B=\frac{1}{2}x_B\]Współrzędne punktu B, możemy zapisać teraz jako:\[B=(x_B,\frac{1}{2}x_B).\]

Ponadto wiemy, że mamy do czynienia z trójkątem równoramiennym. Ramionami są $AC$ i $BC$. Policzmy więc ich długości, korzystając z tablicowego wzoru na odległość dwóch punktów:

U nas będziemy mieć:\[|AC|=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}\]\[|AC|=\sqrt{(1-2)^2+(9-1)^2}\]\[|AC|=\sqrt{(-1)^2+(8)^2}=\sqrt{1+64}=\sqrt{65}\]

Analogicznie policzymy długość $BC$:\[|BC|=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}\]\[|AC|=\sqrt{(1-x_B)^2+(9-y_B)^2}\]Wstawiamy $y_B=\frac{1}{2}x_B$:\[|AC|=\sqrt{(1-x_B)^2+(9-\frac{1}{2}x_B)^2}\]
Są to długości ramion trójkąta równoramiennego. Oczywiście (mamy nawet zapisane w treści) te długości są sobie równe\[|AC|=|BC|\] więc:\[\sqrt{65}=\sqrt{(1-x_B)^2+(9-\frac{1}{2}x_B)^2}\]Chcemy pozbyć się pierwiastka, więc podnosimy obustronnie do kwadratu:\[65=(1-x_B)^2+(9-\frac{1}{2}x_B)^2\]Następnie podnosimy co trzeba do kwadratu, pamiętając o wzorze skróconego mnożenia\[(a-b)^2=a^2-2ab-b^2\]Dostaniemy:\[65=1-2x_B+x_B^2+81-9x_B+\frac{1}{4}x_B^2\]Przenosimy $65$ na prawą stronę i redukujemy:\[0=1-2x_B+x_B^2+81-9x_B+\frac{1}{4}x_B^2-65\]\[0=\frac{5}{4}x_B^2-11x_B+17\]Nie wiem jak Wy, ale ja nie lubię ułamków, dlatego pomnożę obie strony przez $4$:\[0=5x_B^2-44x_B+68\]No i dotarliśmy do równania kwadratowego:-)\[\Delta=b^2-4ac\]\[\Delta=(-44)^2-4\cdot 5 \cdot 68=1936-1360=576\]\[\sqrt{\Delta}=\sqrt{576}=24\]\[x_{B_1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\]\[x_{B_2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\]Po wstawieniu współczynników trójmianu i pierwiastka z delty, dostajemy:\[x_{B_1}=\frac{44-24}{2\cdot 5}=\frac{20}{10}=2\]\[x_{B_2}=\frac{44+24}{2\cdot 5}=\frac{68}{10}\]Pamiętamy, że $y_B=\frac{1}{2}x_B$. Pierwsza możliwość to:\[x_B=2\ \ \ y_B=\frac{1}{2}\cdot 2=1\] - ten punkt wystąpił jednak w treści zadania - odrzucamy go.

Druga z możliwości:\[x_B=\frac{68}{10}\ \ \ y_B=\frac{1}{2}\cdot \frac{68}{10}=\frac{68}{20}\]To będą szukane współrzędne punktu. Oczywiście da się uprościć:\[x_B=\frac{34}{5}\ \ \ y_B=\frac{17}{5}\]Na koniec zapisujemy:\[B=(\frac{34}{5},\frac{17}{5})\]

ODPOWIEDŹ: Punkt $B$ ma współrzędne $B=(\frac{34}{5},\frac{17}{5})$.

Zadanie domowe:

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$ oraz $A=(-1,-3)$ i $C=(-4,5)$. Podstawa tego trójkąta jest zawarta w prostej $y=3x$. Oblicz współrzędne wierzchołka $B$.