Matura podstawowa, sierpień 2012, zadanie 29

(2 pkt)
W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są $|AC|=|BC|=6$ i $|\sphericalangle ACB|=30^{\circ}$ (zobacz rysunek). Oblicz wysokość $AD$ trójkąta opuszczoną z wierzchołka $A$ na bok $BC$.

ROZWIĄZANIE:

Po pierwsze podpiszmy wielkości na rysunku. Pamiętajmy, że wysokość zawsze pada pod kątem prostym:-)

Łatwo da się zauważyć, że trójkąt $ADC$ jest trójkątem prostokątnym, co więcej dosyć specyficznym - jego dwa kąty to $90^{\circ}$ i $\ 30^{\circ}$, więc trzeci kąt będzie miał\[180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}\] Ulepszmy rysunek i zaznaczmy nasz trójkąt wyraźnie.

Nie musimy wcale korzystać z podanej długości boku $BC$, natomiast ważna będzie długość $AC$. Co robimy? 

I sp. Jeśli pamiętamy własności trójkąta o kątach "30,60,90" - korzystamy z nich. Możemy także dorysować sobie symetryczny trójkąt, aby otrzymać równoboczny. Może trochę nierówno mi wyszedł, ale idea jest zachowana ;-) 

Trójkąt $AEC$ jest trójkątem równobocznym (bo ma trzy kąty po $60^{\circ}$), jego boki mają długość taką, jak bok $AC$ czyli $6$. Wysokość trójkąta $AEC$, czyli odcinek $CD$ dzieli podstawę $AE$ (która ma długość $6$) na pół. Z tego wnioskujemy, że \[|AD|=\frac{1}{2}\cdot 6=3\]

I koniec:)

II sp. Przyjrzyjmy się wyłącznie trójkątowi $ADC$. Obróćmy go delikatnie, tak by "stał" na podstawie $AD$. 

Widzimy piękny trójkąt prostokątny, na którym na pewno działają funkcje trygonometryczne. Wystarczy znaleźć taką, która łączy przeciwprostokątną ($AC$) i przyprostokątną (weźmy $AD$). Możemy zajrzeć do tablic - ja od razu napiszę, że \[\cos 60^{\circ}=\frac{|AD|}{|AC|},\]bo przecież zgodnie z definicją cosinus w trójkącie prostokątnym to stosunek przyprostokątnej przy kącie do przeciwprostokątnej. Wartość cosinusa $60^{\circ}$ znajdziemy w tablicach - jest to $\frac{1}{2}$, Wstawmy także nasze wartości z rysunku:\[\frac{1}{2}=\frac{h}{6}\]Mnożymy obustronnie przez 6 i otrzymujemy\[\frac{1}{2}\cdot 6=h\]czyli\[h=3\]

ODPOWIEDŹ: Długość wysokości $AD$ to 3.

Sami zdecydujcie, który sposób wolicie!

Zadanie domowe:

W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są $|AC|=|BC|=8$ i $|\sphericalangle ACB|=60^{\circ}$ (zobacz rysunek). Oblicz wysokość $AD$ trójkąta opuszczoną z wierzchołka $A$ na bok $BC$.

Zastanówcie się najpierw, jak w zadaniu z matury policzyć długość $CD$ i koniecznie - jeśli robicie zadanie pierwszym sposobem - gdzie dorysować w zadaniu domowym ten symetryczny trójkąt. Czekam na Wasze wyniki:-)