(5 pkt)
Kolarz pokonał trasę 114 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością mniejszą o 9,5 km/h, to pokonałby tę trasę w czasie o 2 godziny dłuższym. Oblicz z jaką średnią prędkością jechał ten kolarz.
Kilka słów ode mnie... (1)
Zadanie - pewniak na maturze podstawowej. Przeglądając arkusze z zeszłych lat ostatnie zadanie jest właśnie takie. Warto nauczyć się schematu rozwiązania, bo nie jest trudny, a warty zazwyczaj 4 lub 5 punktów, czyli 8-10%. To naprawdę bardzo dużo!!!
ROZWIĄZANIE:
Trasa, a więc droga to standardowo $s$: \[s=114.\]Również standardowo oznaczymy prędkość jako $v$ i czas jako $t$. Przypomnijmy sobie wzór na prędkość - wiem, że wiele osób myli co ma być w liczniku, co w mianowniku. Jak najprościej zapamiętać? - Po jednostkach. Prędkość jest liczona w kilometrach na godzinę $\frac{km}{h}$. Kilometry są od drogi, godziny od czasu, więc: \[v=\frac{s}{t}.\] Co wiemy z treści zadania?
Kolarz pokonał trasę 114 km. Dopowiadamy sobie "w jakimś czasie $t$, z jakąś prędkością $v$". Nasze pierwsze równanie będzie następujące: \[v=\frac{114}{t}\]- zgodnie ze wzorem na prędkość.
Czytamy więc dalszą część zadania: "gdyby jechał z prędkością mniejszą o 9,5km/h czyli $v-9,5$, to pokonałby trasę w czasie o 2 godziny dłuższym, tzn. $t+2$. Tę samą trasę 114 km. Mamy więc drugie równanie:\[v-9,5=\frac{114}{t+2}\]Zapiszmy porządnie nasz układ:\[\left\{\begin{matrix}v=\frac{114}{t}\\v-9,5=\frac{114}{t+2}\end{matrix}\right.\]Widzimy, że jest to układ dwóch równań, z dwiema niewiadomymi. Potrafimy go rozwiązać!!! W pierwszym równaniu mamy już wyznaczone $v$, które wstawiamy do drugiego równania:\[\left\{\begin{matrix}v=\frac{114}{t}\\ \frac{114}{t}-9,5=\frac{114}{t+2}\end{matrix}\right. \]Zajmujemy się teraz wyłącznie drugim równaniem, ponieważ ma tylko jedną niewiadomą $t$. Wyliczymy ją i wstawimy do pierwszego równania. Zanim to jednak nastąpi musimy coś z naszym równaniem zrobić:\[\frac{114}{t}-9,5=\frac{114}{t+2}\]Przede wszystkim musimy pozbyć się mianowników. Aby to zrobić, wystarczy obie strony równania pomnożyć przez mianownik, którego mieć nie chcemy. \[\frac{114}{t}-9,5=\frac{114}{t+2}\ \ \ \ |^{\cdot t}\]Pamiętamy, że mnożymy obie strony równania:\[\frac{114}{t}\cdot t-9,5\cdot t=\frac{114}{t+2}\cdot t\]Otrzymamy:\[114-9,5t=\frac{114t}{t+2}\]Został nam drugi mianownik, analogicznie więc:\[114-9,5t=\frac{114t}{t+2}\ \ \ \ |^{\cdot (t+2)}\]\[114\cdot (t+2)-9,5t\cdot (t+2)=\frac{114t}{t+2}\cdot (t+2)\]Oczywiście znów mianownik się upraszcza i dostajemy zwykle równanie:\[114\cdot (t+2)-9,5t\cdot (t+2)=114t\]Pozbądźmy się nawiasów, a więc wymnóżmy:\[114t+114\cdot 2-9,5t\cdot t-9,5t\cdot 2)=114t\]Uporządkujmy\[114t+228-9,5t^2-19t=114t\]Odejmijmy stronami $114t$:\[228-9,5t^2-19t=0\]Dostaliśmy równanie kwadratowe, dla wygody zapiszmy je w postaci:\[-9,5t^2-19t+228=0 \ \ \ \ |^{:(-9,5)}\]\[t^2+2t-24=0\] Oczywiście przez $(-9,5)$ upraszczać nie musimy, wyjdzie dokładnie to samo. Mi po prostu łatwiej liczy się deltę i pierwiastki równania na mniejszych wartościach:) Pamiętajmy także, że przy dzieleniu przez liczbę ujemną, zmieniamy znaki na przeciwne. W równaniu \[t^2+2t-24=0\] współczynniki wynoszą \[a=1,\ \ \ b=2,\ \ \ c=-24 \]\[\Delta=b^2-4ac\]\[\Delta=2^2-4\cdot 1 \cdot (-24)=4+94=100\]\[\sqrt{\Delta}=\sqrt{100}=10\]Liczymy pierwiastki równania: \[t_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\ \ \ \ t_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\]Pamiętajmy, że jeśli jest to równanie z niewiadomą $t$ to pierwiastki oznaczymy jako $t_1,\ t_2$ - dlaczego to ważne? Czasem w zadaniu możemy mieć inne oznaczenia i zmiana $y$ na $x$ może powodować, że policzymy zupełnie coś innego:)\[t_1=\frac{-2-10}{2\cdot 1},\ \ \ \ t_2=\frac{-2+10}{2\cdot 1}\]\[t_1=\frac{-12}{2}=-6,\ \ \ \ t_2=\frac{8}{2}=4\]Pamiętamy, że $t$ oznaczał czas. Czy czas może być ujemny? Oczywiście, że nie! Odrzucamy wartość $t_1$. Nasze prawidłowe $t$ wynosi \[t=4\] Wracamy do pierwszego równania:\[v=\frac{114}{t}\]i wstawiamy $t=4$:\[v=\frac{114}{4}\]\[v=28,5\]
Czytamy jeszcze raz polecenie: "oblicz z jaką średnią prędkością jechał kolarz". Zapisujemy odpowiedź.
Po trzecie - ważne jest żeby odrzucić ujemną wartość, która wychodzi z równania kwadratowego. Zapisanie dwóch przypadków, świadczyłoby o tym, że nie macie pojęcia co liczycie. Dlatego, gdy rozwiązujecie jakiekolwiek równanie kwadratowe, zastanówcie się czy obie wartości są na "chłopski rozum" uzasadnione. Tu oczywiście czas nie mógł być ujemny. Tak samo długość odcinka nigdy nie będzie ujemna, liczba kilogramów, zadań, prędkość. Ilość wierzchołków, boków wielokąta, a także w ciągach n powinno być zawsze naturalne - przecież nie ma dziewięcio-i-pół-kąta albo dwudziestego-i-pół-wyrazu-ciągu;-). Gdy mamy zadanie z ilością ludzi - to także musi być liczba naturalna. Wyliczenie, że w klasie jest 12,5 chłopców oczywiście powinno zwrócić naszą uwagę!
Mam nadzieję, że moje rady pomogą i od teraz na wszystkie niewiadome będziemy patrzeć świadomie :)
Jest to ostatnie zadnie z matury sierpniowej. Oczywiście kolejne będą się pojawiać:-)
Zapraszam do rozwiązania zadania domowego:
Kolarz pokonał trasę 60 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością większą o 1 km/h, to pokonałby tę trasę w czasie o 6 minut krótszym. Oblicz z jaką średnią prędkością jechał ten kolarz.Kolarz pokonał trasę 114 km. Dopowiadamy sobie "w jakimś czasie $t$, z jakąś prędkością $v$". Nasze pierwsze równanie będzie następujące: \[v=\frac{114}{t}\]- zgodnie ze wzorem na prędkość.
Czytamy więc dalszą część zadania: "gdyby jechał z prędkością mniejszą o 9,5km/h czyli $v-9,5$, to pokonałby trasę w czasie o 2 godziny dłuższym, tzn. $t+2$. Tę samą trasę 114 km. Mamy więc drugie równanie:\[v-9,5=\frac{114}{t+2}\]Zapiszmy porządnie nasz układ:\[\left\{\begin{matrix}v=\frac{114}{t}\\v-9,5=\frac{114}{t+2}\end{matrix}\right.\]Widzimy, że jest to układ dwóch równań, z dwiema niewiadomymi. Potrafimy go rozwiązać!!! W pierwszym równaniu mamy już wyznaczone $v$, które wstawiamy do drugiego równania:\[\left\{\begin{matrix}v=\frac{114}{t}\\ \frac{114}{t}-9,5=\frac{114}{t+2}\end{matrix}\right. \]Zajmujemy się teraz wyłącznie drugim równaniem, ponieważ ma tylko jedną niewiadomą $t$. Wyliczymy ją i wstawimy do pierwszego równania. Zanim to jednak nastąpi musimy coś z naszym równaniem zrobić:\[\frac{114}{t}-9,5=\frac{114}{t+2}\]Przede wszystkim musimy pozbyć się mianowników. Aby to zrobić, wystarczy obie strony równania pomnożyć przez mianownik, którego mieć nie chcemy. \[\frac{114}{t}-9,5=\frac{114}{t+2}\ \ \ \ |^{\cdot t}\]Pamiętamy, że mnożymy obie strony równania:\[\frac{114}{t}\cdot t-9,5\cdot t=\frac{114}{t+2}\cdot t\]Otrzymamy:\[114-9,5t=\frac{114t}{t+2}\]Został nam drugi mianownik, analogicznie więc:\[114-9,5t=\frac{114t}{t+2}\ \ \ \ |^{\cdot (t+2)}\]\[114\cdot (t+2)-9,5t\cdot (t+2)=\frac{114t}{t+2}\cdot (t+2)\]Oczywiście znów mianownik się upraszcza i dostajemy zwykle równanie:\[114\cdot (t+2)-9,5t\cdot (t+2)=114t\]Pozbądźmy się nawiasów, a więc wymnóżmy:\[114t+114\cdot 2-9,5t\cdot t-9,5t\cdot 2)=114t\]Uporządkujmy\[114t+228-9,5t^2-19t=114t\]Odejmijmy stronami $114t$:\[228-9,5t^2-19t=0\]Dostaliśmy równanie kwadratowe, dla wygody zapiszmy je w postaci:\[-9,5t^2-19t+228=0 \ \ \ \ |^{:(-9,5)}\]\[t^2+2t-24=0\] Oczywiście przez $(-9,5)$ upraszczać nie musimy, wyjdzie dokładnie to samo. Mi po prostu łatwiej liczy się deltę i pierwiastki równania na mniejszych wartościach:) Pamiętajmy także, że przy dzieleniu przez liczbę ujemną, zmieniamy znaki na przeciwne. W równaniu \[t^2+2t-24=0\] współczynniki wynoszą \[a=1,\ \ \ b=2,\ \ \ c=-24 \]\[\Delta=b^2-4ac\]\[\Delta=2^2-4\cdot 1 \cdot (-24)=4+94=100\]\[\sqrt{\Delta}=\sqrt{100}=10\]Liczymy pierwiastki równania: \[t_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\ \ \ \ t_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\]Pamiętajmy, że jeśli jest to równanie z niewiadomą $t$ to pierwiastki oznaczymy jako $t_1,\ t_2$ - dlaczego to ważne? Czasem w zadaniu możemy mieć inne oznaczenia i zmiana $y$ na $x$ może powodować, że policzymy zupełnie coś innego:)\[t_1=\frac{-2-10}{2\cdot 1},\ \ \ \ t_2=\frac{-2+10}{2\cdot 1}\]\[t_1=\frac{-12}{2}=-6,\ \ \ \ t_2=\frac{8}{2}=4\]Pamiętamy, że $t$ oznaczał czas. Czy czas może być ujemny? Oczywiście, że nie! Odrzucamy wartość $t_1$. Nasze prawidłowe $t$ wynosi \[t=4\] Wracamy do pierwszego równania:\[v=\frac{114}{t}\]i wstawiamy $t=4$:\[v=\frac{114}{4}\]\[v=28,5\]
Czytamy jeszcze raz polecenie: "oblicz z jaką średnią prędkością jechał kolarz". Zapisujemy odpowiedź.
ODPOWIEDŹ: Kolarz jechał ze średnią prędkością 28,5 km/h.
Kilka słów ode mnie... (2)
Po pierwsze uważajcie na jednostki. Zazwyczaj są zgodne, ale gdybyście mieli podane, że kolarz pokonałby trasę w czasie o 120 minut krótszym, to oczywiście trzeba byłoby zamienić to na 2 godziny, ponieważ prędkość została podana w km/h.
Po drugie zawsze przy końcu zadania czytajcie jeszcze raz polecenie. Może się zdarzyć, że zapytają z jaką średnią prędkością jechałby kolarz w drugim przypadku. Wtedy należałoby odjąć 28,5 km/h - 9,5 km/h = 19 km/h. Szkoda na samym końcu zadania zapisać zły wynik:)
Mam nadzieję, że moje rady pomogą i od teraz na wszystkie niewiadome będziemy patrzeć świadomie :)
Jest to ostatnie zadnie z matury sierpniowej. Oczywiście kolejne będą się pojawiać:-)
PS: 6 minut to sześć sześćdziesiątych godziny ;-)
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz