Matura podstawowa, sierpień 2012, zadanie 33

(4 pkt)
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDS$ o podstawie $ABCD$ i wierzchołku $S$ trójkąt $ACS$ jest równoboczny i ma bok długości $8$. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek).

ROZWIĄZANIE:

Zastanawiamy się po pierwsze co znaczy, że ostrosłup jest prawidłowy czworokątny...? Nic innego jak to, że w podstawie tego ostrosłupa jest czworokąt foremny - kwadrat. Wiele nam to ułatwi, ponieważ wiemy już jakie są wartości krawędzi podstawy - oznaczmy je jako $a$:\[|AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a\]Nanieśmy także na rysunek wspomniany w treści zadania trójkąt $ACS$, który jest trójkątem równobocznym o boku $8$. Oznaczmy ponadto wysokość ostrosłupa jako $H$.

W tym momencie bacznie przyglądamy się rysunkowi i co zauważamy?
- że długość przekątnej podstawy $|AC|$, a więc długość przekątnej kwadratu o boku $a$ wynosi $8$,
- że wysokość $H$ "spada" w sam środek kwadratu - gdybyśmy przesunęli odcinek $AB$ spodek wysokości ostrosłupa byłby dokładnie w jego połowie.
- że poszukiwania sinusa kąta alfa zawężą się do znalezienia długości $a$ oraz $H$ i będziemy mieć trójkąt prostokątny, w którym wyznaczenie wartości funkcji trygonometrycznych nie sprawia większego problemu

Dla ułatwienia narysuję trójkąty, z których wyliczymy $a$ oraz $H$. Mam nadzieję, że nikt nie będzie miał problemu z odszukaniem wskazanych trójkątów na rysunku powyżej.

Co teraz? Oba trójkąty są prostokątne, stosujemy twierdzenie Pitagorasa:

$\bigtriangleup ABC$:\[a^2+a^2=8^2\]\[2a^2=64\ \ \ \ |^{:2}\]\[a^2=32\ \ \ \ |^{\sqrt{}}\]\[a=\sqrt{32}\]\[a=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}\]

$\bigtriangleup OCS$:\[4^2+H^2=8^2\]\[16+H^2=64\ \ \ \ |^{-16}\]\[H^2=48\ \ \ \ |^{\sqrt{}}\]\[H=\sqrt{48}\]\[H=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}\]

Po co były nam te przeliczenia? Spójrzmy na ostrosłup raz jeszcze. Widzimy trójkąt z zaznaczonym kątem:

To właśnie tym trójkątem wystarczy się zająć, aby wyznaczyć wartość sinusa alfy. 

Przypomnijmy, że sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do przeciwprostokątnej. 

Naprzeciw kąta oczywiście jest $H$, przeciwprostokątną jest odcinek $SE$. Zapiszmy:\[\sin\alpha=\frac{H}{|SE|}\] Pozostaje policzyć długość odcinka $SE$ co zrobimy oczywiście z twierdzenia Pitagorasa:\[\Big(\frac{a}{2}\Big)^{2}+H^2=|SE|^2\]\[\frac{a^2}{4}+H^2=|SE|^2\]Wstawmy wyliczone wcześniej wartości\[a=4\sqrt{2},\ \ \ \ \  H=4\sqrt{3}\]\[\frac{(4\sqrt{2})^2}{4}+(4\sqrt{3})^2=|SE|^2\]\[|SE|^2=\frac{16\cdot 2}{4}+16\cdot 3\]\[|SE|^2=8+48\]\[|SE|^2=56\ \ \ \ |^{\sqrt{}}\]\[|SE|=\sqrt{56}=\sqrt{4\cdot 14}=2\sqrt{14}\]Ostatni krok to zapisanie wartości naszego sinusa:\[\sin\alpha=\frac{H}{|SE|}\]\[\sin\alpha=\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{14}}\]Oczywiście wypada uwymiernić, a więc domnożyć licznik i mianownik przez niechciany pierwiastek:\[\sin\alpha=\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{14}}\cdot \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}=\frac{4\sqrt{3\cdot14}}{2\cdot 14}\]\[\sin\alpha=\frac{4\sqrt{42}}{28}\]I upraszczamy licznik oraz mianownik przez $4$...\[\sin\alpha=\frac{\sqrt{42}}{7}\]

Oczywiście zapisujemy

ODPOWIEDŹ: Szukana wartość to $\sin\alpha=\frac{\sqrt{42}}{7}$.

Kilka słów ode mnie...

Zadanie może do łatwych nie należy, ale polecam Wam gorąco. Przeanalizujecie do matury kilka podobnych i już będzie szło łatwiej, coś zauważycie, policzycie... Pamiętajcie, że zapisanie czegokolwiek istotnego dla zadania może skutkować otrzymaniem częściowej liczby punktów. Nie załamujcie się, jeśli nie macie pomysłu jak skończyć zadanie, nie przekreślajcie czegoś co wydaje Wam się źle, bo nie skończyliśmy... Lepszy chociażby 1/4 niż 0/4:)) 

Przepraszam także za małą przerwę na blogu! Niestety czasem nawał zajęć nie pozwala na znalezienie małej wolnej chwili... :-/ 

Zadanie domowe:

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDS$ o podstawie $ABCD$ i wierzchołku $S$ trójkąt $BDS$ jest równoboczny i ma bok długości $6$. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (wykonaj rysunek).

Rysunek będzie prawie że identyczny jak ten w zadaniu, zaznaczymy tylko inny trójkąt. Spróbujcie!! Dzięki rysowaniu kształtujemy wyobraźnię przestrzenną, a to dosyć ważne w zadaniach ze stereometrii :-)