Matura podstawowa, sierpień 2012, zadanie 27

(2 pkt)
Rozwiąż równanie $x^3-6x^2-9x+54=0$.

ROZWIĄZANIE:

Równanie wielomianowe to kolejny przykład zadania łatwego, którego nie sposób nie umieć poprawnie rozwiązać, gdy przystępujemy do matury:-) Zazwyczaj wielomian jest w postaci sumy i musimy tak pogrupować wyrazy, aby otrzymać postać iloczynową. Oczywiście można odgadywać pierwiastki, podstawiając wybrane liczby i sprawdzając czy dostaniemy 0. Jednakże może nam to zająć sporo cennego czasu, zwłaszcza gdy podnoszenie do potęgi nie jest naszym ulubionym działaniem;-) Zajmijmy się więc przyjemnym i prostym grupowaniem wyrazów.
Nasze równanie $$x^3-6x^2-9x+54=0$$ dzielimy na dwa człony $$(x^3-6x^2)+(-9x+54)=0.$$ W każdym z nich będziemy się starać wyciągnąć coś przed nawias - i tak w pierwszym nawiasie będzie to na pewno $x^2$. Co z drugim? Chcemy aby pozostało to samo wyrażenie co z pierwszego nawiasu (u nas $x-6$): $$x^2\cdot(x-6)+ ... (x-6)=0$$ Wystarczy teraz pomyśleć, co było wyjściowo przy $x$ - "minus dziewiątka". Wpisujemy więc ją w miejsce kropek. $$x^2\cdot(x-6)-9(x-6)=0$$ Dla pewności liczymy w pamięci, czy nowe wyrażenie jest na pewno tym samym co pierwsze! Jest... więc przechodzimy dalej. Widzimy, że tym razem powtarza nam się nawias $(x-6)$ - do tego sami doprowadziliśmy w poprzednim kroku. To będzie fragment, który wyciągniemy ponownie przed nawias a w drugim zapiszemy całą resztę: $$(x-6)(x^2-9)=0$$ Czy to już pełne rozłożenie wielomianu na czynniki liniowe? Nie, bo da się rozłożyć $x^2-9$ na $$x^2-9=(x-3)(x+3)$$ zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
Nasze równanie to $$(x-6)(x-3)(x+3)=0.$$ Zadajmy sobie pytanie kiedy iloczyn jest zerem? Wiemy nie od dziś, że gdy jeden z czynników jest zerem. Rozpisujemy: $$x-6=0\ \ \vee \ \ x-3=0 \ \ \vee \ \ x+3=0$$ czyli $$x=6\ \ \vee \ \ x=3 \ \ \vee \ \ x=-3$$
ODPOWIEDŹ: Rozwiązaniem równania są liczby: -3, 3 i 6.

Zadanie domowe:

(2 pkt)
Rozwiąż równanie $x^3+3x^2-4x-12=0$.