(2 pkt)
Rozwiąż równanie $x^3-6x^2-9x+54=0$.
ROZWIĄZANIE:
Równanie wielomianowe to kolejny przykład zadania łatwego, którego nie sposób nie umieć poprawnie rozwiązać, gdy przystępujemy do matury:-) Zazwyczaj wielomian jest w postaci sumy i musimy tak pogrupować wyrazy, aby otrzymać postać iloczynową. Oczywiście można odgadywać pierwiastki, podstawiając wybrane liczby i sprawdzając czy dostaniemy 0. Jednakże może nam to zająć sporo cennego czasu, zwłaszcza gdy podnoszenie do potęgi nie jest naszym ulubionym działaniem;-) Zajmijmy się więc przyjemnym i prostym grupowaniem wyrazów.
Nasze równanie\[x^3-6x^2-9x+54=0\]dzielimy na dwa człony\[(x^3-6x^2)+(-9x+54)=0.\]W każdym z nich będziemy się starać wyciągnąć coś przed nawias - i tak w pierwszym nawiasie będzie to na pewno $x^2$. Co z drugim? Chcemy aby pozostało to samo wyrażenie co z pierwszego nawiasu (u nas $x-6$): \[x^2\cdot(x-6)+ ... (x-6)=0\]Wystarczy teraz pomyśleć, co było wyjściowo przy $x$ - "minus dziewiątka". Wpisujemy więc ją w miejsce kropek.\[x^2\cdot(x-6)-9(x-6)=0\]Dla pewności liczymy w pamięci, czy nowe wyrażenie jest na pewno tym samym co pierwsze! Jest... więc przechodzimy dalej. Widzimy, że tym razem powtarza nam się nawias $(x-6)$ - do tego sami doprowadziliśmy w poprzednim kroku. To będzie fragment, który wyciągniemy ponownie przed nawias a w drugim zapiszemy całą resztę:\[(x-6)(x^2-9)=0\]Czy to już pełne rozłożenie wielomianu na czynniki liniowe? Nie, bo da się rozłożyć $x^2-9$ na \[x^2-9=(x-3)(x+3)\] zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
Nasze równanie to\[(x-6)(x-3)(x+3)=0.\]Zadajmy sobie pytanie kiedy iloczyn jest zerem? Wiemy nie od dziś, że gdy jeden z czynników jest zerem. Rozpisujemy:\[x-6=0\ \ \vee \ \ x-3=0 \ \ \vee \ \ x+3=0\]czyli\[x=6\ \ \vee \ \ x=3 \ \ \vee \ \ x=-3\]
ODPOWIEDŹ: Rozwiązaniem równania są liczby: -3, 3 i 6.
Nasze równanie\[x^3-6x^2-9x+54=0\]dzielimy na dwa człony\[(x^3-6x^2)+(-9x+54)=0.\]W każdym z nich będziemy się starać wyciągnąć coś przed nawias - i tak w pierwszym nawiasie będzie to na pewno $x^2$. Co z drugim? Chcemy aby pozostało to samo wyrażenie co z pierwszego nawiasu (u nas $x-6$): \[x^2\cdot(x-6)+ ... (x-6)=0\]Wystarczy teraz pomyśleć, co było wyjściowo przy $x$ - "minus dziewiątka". Wpisujemy więc ją w miejsce kropek.\[x^2\cdot(x-6)-9(x-6)=0\]Dla pewności liczymy w pamięci, czy nowe wyrażenie jest na pewno tym samym co pierwsze! Jest... więc przechodzimy dalej. Widzimy, że tym razem powtarza nam się nawias $(x-6)$ - do tego sami doprowadziliśmy w poprzednim kroku. To będzie fragment, który wyciągniemy ponownie przed nawias a w drugim zapiszemy całą resztę:\[(x-6)(x^2-9)=0\]Czy to już pełne rozłożenie wielomianu na czynniki liniowe? Nie, bo da się rozłożyć $x^2-9$ na \[x^2-9=(x-3)(x+3)\] zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
Nasze równanie to\[(x-6)(x-3)(x+3)=0.\]Zadajmy sobie pytanie kiedy iloczyn jest zerem? Wiemy nie od dziś, że gdy jeden z czynników jest zerem. Rozpisujemy:\[x-6=0\ \ \vee \ \ x-3=0 \ \ \vee \ \ x+3=0\]czyli\[x=6\ \ \vee \ \ x=3 \ \ \vee \ \ x=-3\]
ODPOWIEDŹ: Rozwiązaniem równania są liczby: -3, 3 i 6.
(2 pkt)
Rozwiąż równanie $x^3+3x^2-4x-12=0$.
Odp.: x należy {-3, -2, 2}. ??
OdpowiedzUsuńprawidłowo!:)
Usuńwyszło mi tak samo ;)
UsuńGratuluje świetnego bloga! Odkryłam go końcem września ;P dziś zebrałam się w sobie i przerobiłam już prawie wszystkie zadania od początku września (razem z zadaniami "domowymi") ;P Zadania są rewelacyjnie opisane nie ma żadnych "tajemniczych przeskoków". Od teraz będę robić zadania na bieżąco. Szkoda tylko, że nie ma więcej zadań z matury rozszerzonej, ale i tak to co jest, jest bardzo przydatne!
OdpowiedzUsuńTo niestety dlatego, że bardziej poczytnymi postami są te z podstawowej:/ ...ale nic się nie martw! Będzie więcej:)
UsuńJedyne o co mogę prosić to o polecanie go znajomym, ponieważ nie mam innych możliwości rozpromowania go:) A im więcej osób zagląda tym moja motywacja i satysfakcja są większe!
I oczywiście gratuluję słusznego wyboru. Mam nadzieję, że mój blog będzie Ci towarzyszył aż do maja, a w lipcu wrócisz tu pochwalić się swoim wynikiem:))
Mam nadzieję, że dzięki systematycznej pracy z blogiem, oraz masie zadań które próbuje ogarnąć(dokładnie to mam na myśli zbiory A.Kiełbasy) będzie się czym pochwalić ;P
Usuńna pewno:) Kiełbasa jest chyba najlepszym zbiorem, jeśli chodzi o przygotowanie do matury. A gdybyś trafiła na jakieś trudniejsze zadanie - napisz... Chętnie pokażę je na blogu:)
Usuń