Matura podstawowa, sierpień 2012, zadanie 23

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku $a$. Objętość tego stożka wyraża się wzorem:
A. $\frac{\sqrt{3}}{6}\pi a^3$
B. $\frac{\sqrt{3}}{8}\pi a^3$
C. $\frac{\sqrt{3}}{12}\pi a^3$
D. $\frac{\sqrt{3}}{24}\pi a^3$

ROZWIĄZANIE:

Mam dla Was w końcu trudniejsze zadanie. Trudniejsze o tyle, że zazwyczaj widzę grymas na twarzy maturzystów, gdy przerabiamy coś takiego! My jednak radzimy sobie ze wszystkim:)

Zastanówmy się, co to jest przekrój osiowy stożka. To nic innego jak rozcięcie stożka wzdłuż osi obrotu. Będzie to trójkąt. Zresztą zobaczcie na rysunku:

Sprawdźmy też, co o naszym stożku piszą w tablicach.

Mamy wzór, którego trzeba będzie użyć - wzór na objętość stożka. \[V=\frac{1}{3}\pi r^2h\] Informacja o przekroju posłuży nam do wyznaczenia promienia podstawy $r$ i wysokości $h$ stożka. Narysujmy więc standardowy przekrój stożka i przekrój z naszego zadania. Patrząc na rysunek z łatwością wyznaczymy szukane długości.

Widzimy, że wysokość stożka, to wysokość trójkąta równobocznego (znajdziemy w tablicach), a promień, to połowa podstawy trójkąta:\[h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\]\[r=\frac{a}{2}\] Nie pozostaje nic innego jak wstawić nasze dane do wzoru na objętość.\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\]\[=\frac{1}{3}\pi \cdot \Big(\frac{a}{2}\Big)^2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\]\[\frac{1}{3}\pi \cdot \Big(\frac{a^2}{4}\Big)\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{24}\ \pi\]

Zaznaczamy odpowiedź D:)

Zadanie domowe:

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku $a$. Objętość tego walca wyraża się wzorem:
A. $\frac{1}{2}\pi a^3$
B. $\frac{1}{4}\pi a^3$
C. $\frac{3}{2}\pi a^3$
D. $\frac{3}{4}\pi a^3$