Matura podstawowa, sierpień 2012, zadanie 26

(2 pkt)
Rozwiąż nierówność $x^2-8x+7\geq 0$.

ROZWIĄZANIE:

W dniu dzisiejszym rozpoczynamy zadania otwarte z matury podstawowej. Są to zadania punktowane za więcej niż 1 pkt. Nie mamy także możliwości wyboru odpowiedzi - należy ją podać... Czy są trudniejsze? Przekonacie się sami:)

Jako jedno z pierwszych, podstawowe zadanie z nierównością kwadratową. Przewinęło się na większości matur i jest to zadanie podstawowe - prawdopodobnie robiliście je wiele razy na lekcjach w szkole. Zacznijmy więc rozwiązywać: $$x^2-8x+7\geq 0$$ Niewiadomą jest $x$ i żeby go wyznaczyć należy policzyć deltę. Wypiszmy na początku współczynniki trójmianu: $$a=1,\ \ \ b=-8,\ \ \ c=7$$ Przypomnijmy także wzór na deltę (jest w tablicach!): $$\Delta=b^2-4ac$$ Policzymy: $$\Delta=(-8)^2-4\cdot 1 \cdot 7=64-28=36$$ Widzimy, że $\Delta>0$ w związku z tym wzory na pierwiastki równania kwadratowego są następujące $$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\ , \ \ \ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$ $$\sqrt{\Delta}=\sqrt{36}=6$$ $$x_1=\frac{-(-8)-6}{2\cdot 1}\ , \ \ \ x_2=\frac{-(-8)+6}{2\cdot 1}$$ $$x_1=\frac{8-6}{2}\ , \ \ \ x_2=\frac{8+6}{2}$$ $$x_1=\frac{2}{2}=1\ , \ \ \ x_2=\frac{14}{2}=7$$ Pamiętamy, że jest to nierówność i że wyznaczone pierwiastki posłużą jedynie do wskazania odpowiednich przedziałów. Zaznaczamy je na osi, rysujemy parabolę - z ramionami zwróconymi ku górze, ponieważ $a>0$. Podpisujemy także plusami "+" fragmenty nad osią i minusami "-" fragmenty pod osią. Ponownie patrzymy na nierówność i zaznaczamy: kółka puste - gdy nierówność jest "słaba" $(>,<)$, w przeciwnym przypadku kółka pełne $(\geq,\leq)$. W efekcie dostajemy:

Jeszcze raz sprawdzamy nierówność: chcieliśmy $\geq 0$, czyli dodatnie. Spisujemy więc przedziały z plusami: $$x\in (-\infty;1>\cup <7;+\infty)$$ i to samo zapisujemy w polu przygotowanym na odpowiedź.

Łatwe, do ogarnięcia i aż za dwa punkty. Polecam!

Zadanie domowe:
(2 pkt)
Rozwiąż nierówność $x^2-7x-8<0$.