Matura podstawowa, sierpień 2012, zadanie 28

(2 pkt)
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 3, czwarty wyraz tego ciągu jest równy 15. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.

ROZWIĄZANIE:

Zadanie jest bardzo łatwe:)
Wystarczy kilka wzorów, które oczywiście znajdziemy w tablicach.
Przede wszystkim, pierwszą i dość ważną informacją jest informacja o rodzaju ciągu. U nas mamy ciąg arytmetyczny i będziemy szukać wzorów właśnie dla niego. Oto wszystkie wzory, które go dotyczą:

Co mamy dane w zadaniu?\[a_1=3\ \ \ \ \ \ \ \ a_4=15\]Co należy policzyć? Sumę sześciu początkowych wyrazów, a więc:\[S_6=?\]Oczywiście wszystko wyliczymy rozpisując nasze dane.

Wiemy, że \[a_n=a_1+(n-1)r\]Czyli nasz czwarty wyraz to:\[a_4=a_1+(4-1)\cdot r\]Fajnie, bo przecież znamy wartość $a_1$ oraz $a_4$! Wstawiamy:\[15=3+3r\]I wyliczamy $r$:\[15-3=3r\]\[12=3r\]Chcemy mieć $r$ więc dzielimy obustronnie przez $3$ i otrzymujemy\[r=4\]Teraz możemy wyliczyć sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu, korzystając z pierwszego lub drugiego wzoru.

I sp. Wzór\[S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\ \cdot n\]Za $n$ wstawiamy $6$:\[S_6=\frac{a_1+a_6}{2}\ \cdot 6\]Nie znamy wartości $a_6$, więc wyliczamy ją zgodnie ze wzorem\[a_6=a_1+(6-1)r\]\[a_6=3+5\cdot 4=3+20=23\]Wracamy do wzoru na sumę:\[S_6=\frac{3+23}{2}\ \cdot 6\ =\frac{26}{2}\ \cdot 6= 13\cdot 6= 78\]I zapisujemy odpowiedź!:)

II sp. Wzór\[S_n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\ \cdot n\]Tu mamy podane wszystkie informacje więc od razu wstawiamy $n=6$, $a_1=3$, $r=4$:\[S_6=\frac{2\cdot 3+(6-1)\cdot 4}{2}\ \cdot 6.\]Zatem:\[S_6=\frac{6+5\cdot 4}{2}\ \cdot 6\]\[S_6=\frac{6+20}{2}\ \cdot 6\]\[S_6=\frac{26}{2}\ \cdot 6=13\cdot6=78\]Czyli tak samo jak sposobem pierwszym.

ODPOWIEDŹ: Suma sześciu początkowych wyrazów tego ciągu wynosi 78.

Prawda, że łatwe? ;-)

Zadanie domowe:
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 4, piąty wyraz tego ciągu jest równy 24. Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu.