Matura rozszerzona, zadanie 3

Dla jakich wartości parametrów $a$, $b$ wielomian $W(x)$ jest podzielny przez wielomian $P(x)$, jeśli:
$a)\ \ W(x)=x^4-2x^3+ax^2-3x+b,\ \ \ P(x)=x^2-3x+3$.

Kłaczkow, Kurczab, Świda, kl. II, zadanie 3.40a

ROZWIĄZANIE:
Podzielność oznacza, że reszta z dzielenia wielomianu $W(x):P(x)$ będzie równa $0$.
Na początku sprawdźmy jednak czy $P(x)$ jest rozkładalny - jeśli tak, ułatwi to dalsze obliczenia - zażądamy aby wartość $W(x)$ w miejscach zerowych wielomianu $P(x)$ była równa $0$. Jeśli natomiast $P(x)$ nie będzie rozkładalny - spróbujemy po prostu podzielić wielomiany i resztę z dzielenia przyrównać do zera.$$P(x)=x^2-3x+3$$$$\Delta=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 3= 9-12=-3 <0$$W związku z tym, będziemy musieli pójść odrobinę trudniejszą drogą, bo gdy delta równania kwadratowego jest ujemna, nie ma ono pierwiastków rzeczywistych. Co za tym idzie - trójmian nie rozkłada się.Zgodnie z zapowiedzią musimy dzielić:$$W(x):P(x)=(x^4-2x^3+ax^2-3x+b):(x^2-3x+3)$$ Wykonam to dzielenie, mam nadzieję, że zapis zostanie zrozumiany - od razu zmieniam znaki na przeciwne.

$\ \ \ \ \ x^2\ +\ x\ + \ a\\
\overline{\ \ \ \ x^4-2x^3+ax^2-3x+b}:(x^2-3x+3)\\
\underline{\ \ -x^4+3x^3-3x^2}\\
= \ \ \ \ \ \ \ \ \ x^3+(a-3)x^2-3x+b\\
\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x^3+\ \ \ \ \ \ \ \ 3x^2-3x}\\
=\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (a-3+3)x^2-6x+b = ax^2-\ 6x+b\\
\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -ax^2+ 3ax-3a}\\
=\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underbrace{(-6+3a)x+b-3a}_{R(x)}
$


Tak więc naszą resztą jest wielomian: $$R(x)=(-6+3a)x+(b-3a)$$ i aby $W(x)$ był podzielny przez $P(x)$, reszta ta, musi być równa $0$. $$R(x)=0.$$W związku z tym:$$(-6+3a)x+(b-3a)=0$$ Mamy przyrównać dwumian do wielomianu zerowego. Oczywiście każdy współczynnik wielomianu występującego po lewej musi być równy 0.Zatem:$$-6+3a=0\ \ \ \ \wedge \ \ \  b-3a=0$$$$3a=6\ \ \ \ \ \ \ \wedge \ \ \ \  3a=b$$$$\ \ a=2 \ \ \ \ \ \wedge \ \ \ \ \ 3\cdot 2=b$$$$\ a=2 \ \ \ \ \ \wedge \ \ \ \  b=6$$

ODPOWIEDŹ: Aby wielomian $W(x)$ był podzielny przez wielomian $P(x)$ parametry muszą wynosić: $a=2$ i $b=6$.

Zadanie domowe:

Dla jakich wartości parametrów $a$, $b$ wielomian $W(x)$ jest podzielny przez wielomian $P(x)$, jeśli: $a)\ \ W(x)=x^4+ax^3+bx^2+3x-9,\ \ \ P(x)=(x+3)^2$.