Matura podstawowa, sierpień 2012, zadanie 31

(2 pkt)

Wykaż, że jeżeli $c<0$, to trójmian kwadratowy $y=x^2+bx+c$ ma dwa różne miejsca zerowe.

ROZWIĄZANIE:

Kolejne zadanie typu "wykaż". Nie martwimy się jednak na wyrost, bo pewnie okaże się proste:)

Po pierwsze zadajemy sobie pytanie - kiedy trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe? Odpowiedź jest prosta: gdy zachodzi warunek: $$\Delta>0.$$
Policzymy więc deltę trójmianu z treści zadania. Widzimy, że współczynnik $a=1$, natomiast $b$ i $c$ to parametry. O $c$ wiemy dodatkowo, że jest większe od zera.
Przypominamy wzór na deltę (który znajdziemy w tablicach): $$\Delta=b^2-4ac$$ I wstawiamy za $a$ jedynkę: $$\Delta=b^2-4\cdot 1\cdot c$$ $$\Delta=b^2-4c$$ I ta właśnie delta, którą otrzymaliśmy ma być większa od zera, czyli $$b^2-4c>0$$ Czy tak będzie?
Piszemy słowne uzasadnienie. Kwadrat $b$ jest na pewno większy lub równy zero natomiast $c$ z treści zadania jest liczbą ujemną. Mnożąc ją przez $-4$ otrzymamy liczbę dodatnią. Następnie dodajemy liczbę większą lub równą zero i liczbę większą od zera - otrzymujemy coś większego od zera. $$\underbrace{\underbrace{b^2}_{\geq 0}\ \ +\ \ \underbrace{(-4c)}_{>0}}_{>0}$$ I jest to koniec uzasadnienia, bo faktycznie wychodzi $\Delta>0$, co świadczy o dwóch różnych miejscach zerowych funkcji kwadratowej.

Zadanie domowe:

(2 pkt)

Wykaż, że jeżeli $c<0$ oraz $b<0$, to trójmian kwadratowy $y=x^2+bx+c$ ma dwa różne miejsca zerowe.