Matura podstawowa, sierpień 2012, zadanie 31

(2 pkt)

Wykaż, że jeżeli $c<0$, to trójmian kwadratowy $y=x^2+bx+c$ ma dwa różne miejsca zerowe.

ROZWIĄZANIE:

Kolejne zadanie typu "wykaż". Nie martwimy się jednak na wyrost, bo pewnie okaże się proste:)

Po pierwsze zadajemy sobie pytanie - kiedy trójmian kwadratowy ma dwa różne miejsca zerowe? Odpowiedź jest prosta: gdy zachodzi warunek:\[\Delta>0.\]
Policzymy więc deltę trójmianu z treści zadania. Widzimy, że współczynnik $a=1$, natomiast $b$ i $c$ to parametry. O $c$ wiemy dodatkowo, że jest większe od zera.
Przypominamy wzór na deltę (który znajdziemy w tablicach):\[\Delta=b^2-4ac\] I wstawiamy za $a$ jedynkę:\[\Delta=b^2-4\cdot 1\cdot c\]\[\Delta=b^2-4c\]I ta właśnie delta, którą otrzymaliśmy ma być większa od zera, czyli \[b^2-4c>0\]Czy tak będzie?
Piszemy słowne uzasadnienie. Kwadrat $b$ jest na pewno większy lub równy zero natomiast $c$ z treści zadania jest liczbą ujemną. Mnożąc ją przez $-4$ otrzymamy liczbę dodatnią. Następnie dodajemy liczbę większą lub równą zero i liczbę większą od zera - otrzymujemy coś większego od zera. \[\underbrace{\underbrace{b^2}_{\geq 0}\ \ +\ \ \underbrace{(-4c)}_{>0}}_{>0}\]I jest to koniec uzasadnienia, bo faktycznie wychodzi $\Delta>0$, co świadczy o dwóch różnych miejscach zerowych funkcji kwadratowej.

Zadanie domowe:

(2 pkt)

Wykaż, że jeżeli $c<0$ oraz $b<0$, to trójmian kwadratowy $y=x^2+bx+c$ ma dwa różne miejsca zerowe.