Matura podstawowa, sierpień 2012, zadanie 28

(2 pkt)
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 3, czwarty wyraz tego ciągu jest równy 15. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.

ROZWIĄZANIE:

Zadanie jest bardzo łatwe:)
Wystarczy kilka wzorów, które oczywiście znajdziemy w tablicach.
Przede wszystkim, pierwszą i dość ważną informacją jest informacja o rodzaju ciągu. U nas mamy ciąg arytmetyczny i będziemy szukać wzorów właśnie dla niego. Oto wszystkie wzory, które go dotyczą:

Co mamy dane w zadaniu? $$a_1=3\ \ \ \ \ \ \ \ a_4=15$$ Co należy policzyć? Sumę sześciu początkowych wyrazów, a więc: $$S_6=?$$ Oczywiście wszystko wyliczymy rozpisując nasze dane.

Wiemy, że $$a_n=a_1+(n-1)r$$ Czyli nasz czwarty wyraz to: $$a_4=a_1+(4-1)\cdot r$$ Fajnie, bo przecież znamy wartość $a_1$ oraz $a_4$! Wstawiamy: $$15=3+3r$$ I wyliczamy $r$: $$15-3=3r$$ $$12=3r$$ Chcemy mieć $r$ więc dzielimy obustronnie przez $3$ i otrzymujemy $$r=4$$ Teraz możemy wyliczyć sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu, korzystając z pierwszego lub drugiego wzoru.

I sp. Wzór $$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\ \cdot n$$ Za $n$ wstawiamy $6$: $$S_6=\frac{a_1+a_6}{2}\ \cdot 6$$ Nie znamy wartości $a_6$, więc wyliczamy ją zgodnie ze wzorem $$a_6=a_1+(6-1)r$$ $$a_6=3+5\cdot 4=3+20=23$$ Wracamy do wzoru na sumę: $$S_6=\frac{3+23}{2}\ \cdot 6\ =\frac{26}{2}\ \cdot 6= 13\cdot 6= 78$$ I zapisujemy odpowiedź!:)

II sp. Wzór $$S_n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\ \cdot n$$ Tu mamy podane wszystkie informacje więc od razu wstawiamy $n=6$, $a_1=3$, $r=4$: $$S_6=\frac{2\cdot 3+(6-1)\cdot 4}{2}\ \cdot 6.$$ Zatem: $$S_6=\frac{6+5\cdot 4}{2}\ \cdot 6$$ $$S_6=\frac{6+20}{2}\ \cdot 6$$ $$S_6=\frac{26}{2}\ \cdot 6=13\cdot6=78$$ Czyli tak samo jak sposobem pierwszym.

ODPOWIEDŹ: Suma sześciu początkowych wyrazów tego ciągu wynosi 78.

Prawda, że łatwe? ;-)

Zadanie domowe:
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 4, piąty wyraz tego ciągu jest równy 24. Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu.