Matura podstawowa, czerwiec 2012, zadanie 1

Ułamek $\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}$ jest równy:
A. $1$
B. $-1$
C. $7+4\sqrt{5}$
D. $9+4\sqrt{5}$


ROZWIĄZANIE:

Wracamy do zadań zamkniętych...
Tym razem przypominamy podstawową czynność, którą wykonujemy w wielu maturalnych zadaniach. Chodzi o uwymiernianie:-)
Problem z nim, pojawia się zawsze, ilekroć w mianowniku mamy do czynienia z pierwiastkiem. Tak jest w naszym zadaniu: $$\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}.$$

Zanim pokażemy rozwiązanie takiego przypadku, przypomnijmy:

I. gdy w mianowniku mamy jedynie liczbę pod pierwiastkiem np. $\frac{2}{\sqrt{2}}$ uwymierniamy taki ułamek domnażając licznik i mianownik: $$\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4}}=\frac{\not{2}\sqrt{2}}{\not{2}}=\sqrt{2}$$

II. gdy w mianowniku mamy liczbę pod pierwiastkiem pomnożoną przez liczbę bez pierwiastka np. $\frac{5}{2\sqrt{3}}$. Wiele osób domnaża przez cały mianownik, a tu wystarczy przez pierwiastek - nie trzeba potem dużo skracać: $$\frac{5}{2\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{5\cdot \sqrt{3}}{2\cdot \sqrt{9}}=\frac{5 \sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{5\sqrt{3}}{6}$$

III. Gdy w mianowniku jest wyrażenie w postaci sumy lub różnicy np. tak jak w naszym zadaniu :-) Domnażamy wtedy, przez wartość mianownika, tyle że ze zmienionym znakiem. Zobaczmy: $$\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}\cdot \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}$$ Otrzymujemy: $$\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}=\frac{(\sqrt{5}+2)\cdot \left (\sqrt{5}+2  \right )}{\left (\sqrt{5}-2  \right )\cdot \left (\sqrt{5}+2  \right )}\ \ =$$ Zauważamy, że w liczniku mamy mnożenie tych samych wartości przez siebie - to nic innego jak potęgowanie, czyli: $$=\frac{\left ( \sqrt{5}+2 \right )^2}{\left (\sqrt{5}-2  \right )\cdot \left (\sqrt{5}+2  \right )}$$ W liczniku skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ a w mianowniku z  $$(a-b)\cdot (a+b)=a^2-b^2$$ Jeśli boicie się pomyłek - warto podpisać sobie literkami $a$ i $b$:-) Dostajemy $$=\frac{(\sqrt{5})^2+2\cdot \sqrt{5}\cdot 2+2^2}{(\sqrt{5})^2- 2^2}\ \ =$$ $$=\frac{\sqrt{25}+4\sqrt{5}+4}{\sqrt{25}-4}\ =\frac{5+4\sqrt{5}+4}{5-4}\ =$$ Redukujemy i zauważamy, że w mianowniku wychodzi jedynka. Dzielenie przez jedynkę nic nie zmienia i otrzymujemy: $$=\frac{9+4\sqrt{5}}{1}\ =9+4\sqrt{5}.$$

ODPOWIEDŹ: D.

Zadanie domowe:
Ułamek $\frac{3-2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}$ jest równy:
A. $-\frac{1}{7}$
B. $\frac{1}{7}$
C. $17-12\sqrt{2}$
D. $1-12\sqrt{2}$