Matura podstawowa, czerwiec 2011, zadanie 25

Trójkąt $ABC$ przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty $B,C,N$ są współliniowe. Na boku $AC$ wybrano punkt $M$ tak, że $|AM|=|CN|$. Wykaż, że $|BM|=|MN|.

ROZWIĄZANIE:

Dorysujmy odcinek $MD$, który jest równoległy do odcinka $AB$.

Z treści zadania wiemy, że odcinek $AM$ jest równy odcinkowi $CN$. Będzie także równy odcinkowi $BD$, ponieważ odcinek $MD$ dorysowaliśmy jako równoległy do $AB$.

Zwróćmy także uwagę na to, że skoro trójkąt $ABC$ był równoboczny, to trójkąt $MDC$ też taki jest! Co za tym idzie długości $MD$ i $CM$ są sobie równe.

W trójkącie $MDC$ wszystkie kąty mają po $60^{\circ}$, zatem kąt $MDB$ ma miarę $180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$.
Analogicznie kąt $MCN$ ma $120^{\circ}$.

Co możemy stwierdzić?
Że trójkąty $BDM$ i $MCN$ są przystające na podstawie cechy przystawania bok-kąt-bok.
A z tego już łatwo wywnioskować, że odcinki $BM$ i $MN$ są równe.

Zadanie domowe:
Jeszcze raz przemyśl zadanie:-)