Matura podstawowa, czerwiec 2011, zadanie 23

Rozwiąż nierówność $-2x^2+2x+24\geq0$.

ROZWIĄZANIE:

Wypisujemy wartości współczynników trójmianu: $$a=-2,\ \ \ b=2,\ \ \ c=24.$$ Liczymy deltę: $$\Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot(-2)\cdot 24=4+192=196$$ i jej pierwiastek: $$\sqrt{\Delta}=14.$$ Następnie szukamy miejsc zerowych funkcji kwadratowej - potrzebne wzory to: $$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\ \ \ \ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.$$ Podstawiamy odpowiednie wartości: $$x_1=\frac{-2-14}{2\cdot 2},\ \ \ \ x_2=\frac{-2+14}{2\cdot 2}$$ $$x_1=\frac{-16}{4}=-4,\ \ \ \ x_2=\frac{12}{4}=3.$$ Mamy więc miejsca zerowe naszej funkcji kwadratowej i są to $-4$ i $3$. Zaznaczymy je na osi a następnie narysujemy parabolę z ramionami zwróconymi w dół, ponieważ współczynnik $a=-2$ jest ujemny. Oczywiście zaznaczymy kółka zamknięte, bo w nierówności występuje znak $\geq$. Znak ten oznacza, że potrzebujemy iksów większych lub równych 0, a więc tych nad osią:

 Patrzymy na rysunek i odczytujemy przedział, w którym zaznaczyliśmy nasze rozwiązanie $$x\in<-4,3>$$

ODPOWIEDŹ: $x\in<-4,3>$

Zadanie domowe:
Rozwiąż nierówność $x^2-5x+6\leq0$.