Matura podstawowa, czerwiec 2011, zadanie 8

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność $(3-x)(3+x)>(3-x)^2$ jest:
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$

ROZWIĄZANIE:

Nierówność aż prosi się, żeby ją rozwiązać... Do dzieła! $$(3-x)(3+x)>(3-x)^2$$ Na początek zastosujemy po lewej wzór skróconego mnożenia $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ a po prawej wzór $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Oczywiście można wszystko liczyć "na piechotę", ale po to mamy wzory, żeby je stosować:-)

Nasza nierówność po zastosowaniu wzorów, prezentuje się następująco: $$9-x^2>9-6x+x^2$$ Przenosimy wszystko na jedną stronę: $$9-x^2-9+6x-x^2>0$$ Porządkujemy $$-2x^2+6x>0$$ Mamy równanie kwadratowe, wyciągamy $x$ przed nawias $$x(-2x+6)>0$$ Wyznaczamy miejsca zerowe paraboli: $$x=0\ \ \ \vee -2x+6=0$$ $$x=0\ \ \ \vee -2x=-6$$ $$x=0\ \ \ \vee x=3$$ Ramiona są oczywiście zwrócone w dół, kółka na końcach przedziału otwarte:

Potrzebujemy rozwiązania większego od zera, a więc odczytujemy plusy: $$x\in (0;3)$$

W zadaniu pytają nas o najmniejszą liczbę całkowitą, która spełnia nierówność - będzie to 1, ponieważ 0 nie należy do naszego przedziału.

ODPOWIEDŹ: B.

Zadanie domowe:
Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność $(3-x)(3+x)\geq(3+x)^2$ jest:
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$