Matura podstawowa, czerwiec 2011, zadanie 14

W ciągu geometrycznym $(a_n)$ dane są $a_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$ i $a_3=-1$. Wtedy wyraz $a_1$ jest równy:
A. $-\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $-\sqrt{2}$
D. $\sqrt{2}$

ROZWIĄZANIE:

W przypadku ciągu geometrycznego kolejne wyrazy powstają przez mnożenie poprzednich przez stały iloraz. Da się go łatwo wyznaczyć: $$q=\frac{a_3 }{a_2}$$ $$q=\frac{-1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=-\frac{2}{\sqrt{2}}$$ Uwymiernijmy: $$q=-\frac{2\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}.$$
Aby wyznaczyć pierwszy wyraz ciągu, dzielimy drugi wyraz przez $q$: $$a_1=\frac{a_2}{q}$$ $$a_1=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}.$$

ODPOWIEDŹ: A.

Zadanie domowe:

W ciągu geometrycznym $(a_n)$ dane są $a_2=-1$ i $a_3=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Wtedy wyraz $a_1$ jest równy:
A. $-\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $-\sqrt{2}$
D. $\sqrt{2}$