Matura podstawowa, czerwiec 2011, zadanie 26

Dane są wielomiany $P(x)=-2x^3+3x^2-1$, $Q(x)=2x^2-x-1$ oraz $W(x)=ax+b$. Wyznacz współczynniki $a$ i $b$, tak aby wielomian $P(x)$ był równy iloczynowi $W(x)\cdot Q(x)$.

ROZWIĄZANIE:

$$P(x)=-2x^3+3x^2-1$$ $$Q(x)=2x^2-x-1$$ $$W(x)=ax+b$$
Potrzebujemy iloczynu wielomianów: $$W(x)\cdot Q(x).$$ Oczywiście mnożymy, pamiętając o znakach... :-) $$W(x)\cdot Q(x)=(ax+b)\cdot(2x^2-x-1)=2ax^3-ax^2-ax+2bx^2-bx-b$$ Redukujemy wyrazy podobne $$W(x)\cdot Q(x)=2ax^3+x^2(-a+2b)+x(-a-b)-b$$
W tym momencie musimy przyrównać wielomiany
$$W(x)\cdot Q(x)=P(x)$$ $$2ax^3+x^2(-a+2b)+x(-a-b)-b=-2x^3+3x^2-1$$ Aby dwa wielomiany były sobie równe, muszą być równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej $x$.

Przy $x^3$: $$2a=-2$$ Przy $x^2$: $$-a+2b=3$$ Przy $x$: $$-a-b=0$$ I wyraz wolny: $$-b=-1$$
Jak widać z pierwszego i ostatniego równania dostajemy wynik $$a=-1,\ \ \ \ b=1$$ Należy go sprawdzić z pozostałymi równaniami: $$-a+2b=3$$ $$-(-1)+2\cdot 1=3$$ $$1+2=3$$ Jest ok. $$-a-b=0$$ $$-(-1)-1=0$$ $$1-1=0$$ Też w porządku. Nie ma powodów, by cały układ był sprzeczny (choć mogłoby się tak zdarzyć)!

Odpowiedź: Parametry wynoszą odpowiednio $a=-1$ i $b=1$.

Zadanie domowe:
Dane są wielomiany $P(x)=-2x^3+3x^2-1$, $Q(x)=2x^2+x+1$ oraz $W(x)=ax+b$. Wyznacz współczynniki $a$ i $b$, tak aby wielomian $P(x)$ był równy iloczynowi $W(x)\cdot Q(x)$.