Matura podstawowa, sierpień 2011, zadanie 29

Punkty $A$ i $B$ leżą na okręgu o środku $O$ i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek długości jest równy $7:5$. Oblicz miarę kąta środkowego opartego na krótszym łuku.






ROZWIĄZANIE:

Dorysujmy promienie łączące środek okręgu z punktami $A$ i $B$. Od razu widać, który z wyznaczonych łuków jest krótszy - zaznaczymy kąt środkowy z nim związany.

Kątowi temu odpowiada 5 z 12 części okręgu - wynika to z podziału w stosunku $7:5$ - po drugiej stronie zostało 7 części. 

Zadanie można wykonać na różne sposoby, ale zawsze bazą jest informacja, że 12 ($7+5=12$) częściom odpowiada $360^{\circ}$

Tak więc 5 częściom z dwunastu odpowiada kąt $$\frac{5}{\not{12}_1}\cdot \not{360}_{30}^{\circ}=5\cdot 30^{\circ}=150^{\circ}.$$

Odpowiedź: Miara kąta środkowego opisanego na tym łuku to $150^{\circ}.$

Uwaga! Mogliby zapytać, ile wynosi miara kąta wpisanego - pamiętamy wówczas, że liczymy najpierw kąt środkowy, a potem wynik dzielimy na 2. Kąt wpisany jest zawsze dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku!

Zadanie domowe:
Punkty $A$ i $B$ leżą na okręgu o środku $O$ i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek długości jest równy $3:9$. Oblicz miarę kąta środkowego opartego na dłuższym łuku. (Wykonaj pomocniczy rysunek.)