Matura podstawowa, sierpień 2011, zadanie 25

Udowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 16, czyli $1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot 16$, jest podzielny przez $2^{15}$.

ROZWIĄZANIE:

Wypisanie iloczynu wszystkich liczb naturalnych od 1 do 16 nie powinno nam sprawić problemu: $$1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15\cdot 16.$$ Oczywiście sztuka nie polega na tym, by te liczby mnożyć, a potem zastanawiać się, ile to jest $2^{15}$ i czy to się podzieli... Należy zauważyć, w rozkładzie których liczb występują dwójki. I tak przykładowo: $$4=2^2$$ $$6=2\cdot 3$$ $$12=2^2\cdot 3$$ $$\textrm{itd.}$$ Zapiszmy więc iloczyn wyciągając "dwójki" z liczb, które mają je w sobie: $$1\cdot 2^1\cdot 3\cdot 2^2\cdot 5\cdot 3\cdot 2^1\cdot 7\cdot 2^3\cdot 9\cdot 2^1\cdot 5 \cdot 11\cdot 2^2\cdot 3 \cdot 13\cdot 2^1\cdot 7 \cdot 15\cdot 2^4.$$ Teraz wszystkie dwójki na początek: $$2^1\cdot 2^2\cdot 2^1\cdot 2^3\cdot 2^1\cdot 2^2\cdot 2^1\cdot  2^4\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot 3\cdot 7\cdot 9\cdot 5 \cdot 11\cdot 3 \cdot 13\cdot 7 \cdot 15.$$ Jeżeli podstawy są te same, to przy mnożeniu, wykładniki dodajemy: $$2^{1+2+1+3+1+2+1+4}\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot 3\cdot 7\cdot 9\cdot 5 \cdot 11\cdot 3 \cdot 13\cdot 7 \cdot 15.$$ Zgadnijcie, co wychodzi z sumy!? $$2^{15}\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot 3\cdot 7\cdot 9\cdot 5 \cdot 11\cdot 3 \cdot 13\cdot 7 \cdot 15.$$ Nie mogło być inaczej...
Jeżeli liczba zawiera w swoim rozkładzie $2^{15}$ to oczywiście jest podzielna przez $2^{15}$:-)
Pokazaliśmy co trzeba!

Zadanie domowe:
Udowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 12, czyli $1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot 12$, jest podzielny przez $3^{5}$.