Udowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 16, czyli $1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot 16$, jest podzielny przez $2^{15}$.
ROZWIĄZANIE:
Wypisanie iloczynu wszystkich liczb naturalnych od 1 do 16 nie powinno nam sprawić problemu:\[1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15\cdot 16.\]Oczywiście sztuka nie polega na tym, by te liczby mnożyć, a potem zastanawiać się, ile to jest $2^{15}$ i czy to się podzieli... Należy zauważyć, w rozkładzie których liczb występują dwójki. I tak przykładowo:\[4=2^2\]\[6=2\cdot 3\]\[12=2^2\cdot 3\]\[\textrm{itd.}\]Zapiszmy więc iloczyn wyciągając "dwójki" z liczb, które mają je w sobie:\[1\cdot 2^1\cdot 3\cdot 2^2\cdot 5\cdot 3\cdot 2^1\cdot 7\cdot 2^3\cdot 9\cdot 2^1\cdot 5 \cdot 11\cdot 2^2\cdot 3 \cdot 13\cdot 2^1\cdot 7 \cdot 15\cdot 2^4.\]Teraz wszystkie dwójki na początek:\[2^1\cdot 2^2\cdot 2^1\cdot 2^3\cdot 2^1\cdot 2^2\cdot 2^1\cdot 2^4\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot 3\cdot 7\cdot 9\cdot 5 \cdot 11\cdot 3 \cdot 13\cdot 7 \cdot 15.\]Jeżeli podstawy są te same, to przy mnożeniu, wykładniki dodajemy:\[2^{1+2+1+3+1+2+1+4}\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot 3\cdot 7\cdot 9\cdot 5 \cdot 11\cdot 3 \cdot 13\cdot 7 \cdot 15.\]Zgadnijcie, co wychodzi z sumy!?\[2^{15}\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot 3\cdot 7\cdot 9\cdot 5 \cdot 11\cdot 3 \cdot 13\cdot 7 \cdot 15.\]Nie mogło być inaczej...
Jeżeli liczba zawiera w swoim rozkładzie $2^{15}$ to oczywiście jest podzielna przez $2^{15}$:-)
Pokazaliśmy co trzeba!
Jeżeli liczba zawiera w swoim rozkładzie $2^{15}$ to oczywiście jest podzielna przez $2^{15}$:-)
Pokazaliśmy co trzeba!
Udowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 12, czyli $1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot 12$, jest podzielny przez $3^{5}$.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz