Matura podstawowa, sierpień 2011, zadanie 26

Kąt $\alpha$ jest ostry i $sin\alpha=\frac{1}{4}$. Oblicz $3+tg^2\alpha$.

ROZWIĄZANIE:

Skorzystamy z dwóch wzorów, które oczywiście znajdziemy w tablicach: $$sin^\alpha+cos^2\alpha=1$$ $$tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}.$$
No to najpierw mając dany $$sin\alpha=\frac{1}{4}$$ policzymy z jedynki trygonometrycznej wartość cosinusa. $$\Big(\frac{1}{4}\Big)^2+cos^2\alpha=1$$ $$\frac{1}{16}+cos^2\alpha=1$$ $$cos^2\alpha=1-\frac{1}{16}$$ $$cos^2\alpha=\frac{16}{16}-\frac{1}{16}$$ $$cos^2\alpha=\frac{15}{16}$$ $$cos\alpha=\sqrt{\frac{15}{16}}$$ $$cos\alpha=\frac{\sqrt{15}}{4}.$$ Skoro mamy sinusa i cosinusa to wyliczymy tangens: $$tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}$$ $$tg\alpha=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}}$$ Przekształcamy, by pozbyć się ułamków piętrowych: $$tg\alpha=\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{\sqrt{15}}$$ Oczywiście czwórki się uproszczą: $$tg\alpha=\frac{1}{\sqrt{15}}.$$
W tym momencie damy już radę policzyć wartość naszego wyrażenia: $$3+tg^2\alpha=3+\Big(\frac{1}{\sqrt{15}}\Big)^2=3+\frac{1}{15}=3\frac{1}{15}.$$

ODPOWIEDŹ: Wartość wyrażenia to $3\frac{1}{15}$.

Zadanie domowe:
Kąt $\alpha$ jest ostry i $cos\alpha=\frac{3}{4}$. Oblicz $2-tg^2\alpha$.