Matura podstawowa, sierpień 2011, zadanie 26

Kąt $\alpha$ jest ostry i $sin\alpha=\frac{1}{4}$. Oblicz $3+tg^2\alpha$.

ROZWIĄZANIE:

Skorzystamy z dwóch wzorów, które oczywiście znajdziemy w tablicach:\[sin^\alpha+cos^2\alpha=1\]\[tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}.\]
No to najpierw mając dany \[sin\alpha=\frac{1}{4}\]policzymy z jedynki trygonometrycznej wartość cosinusa.\[\Big(\frac{1}{4}\Big)^2+cos^2\alpha=1\]\[\frac{1}{16}+cos^2\alpha=1\]\[cos^2\alpha=1-\frac{1}{16}\]\[cos^2\alpha=\frac{16}{16}-\frac{1}{16}\]\[cos^2\alpha=\frac{15}{16}\]\[cos\alpha=\sqrt{\frac{15}{16}}\]\[cos\alpha=\frac{\sqrt{15}}{4}.\]Skoro mamy sinusa i cosinusa to wyliczymy tangens:\[tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}\]\[tg\alpha=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}}\]Przekształcamy, by pozbyć się ułamków piętrowych:\[tg\alpha=\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{\sqrt{15}}\]Oczywiście czwórki się uproszczą:\[tg\alpha=\frac{1}{\sqrt{15}}.\]
W tym momencie damy już radę policzyć wartość naszego wyrażenia:\[3+tg^2\alpha=3+\Big(\frac{1}{\sqrt{15}}\Big)^2=3+\frac{1}{15}=3\frac{1}{15}.\]

ODPOWIEDŹ: Wartość wyrażenia to $3\frac{1}{15}$.

Zadanie domowe:
Kąt $\alpha$ jest ostry i $cos\alpha=\frac{3}{4}$. Oblicz $2-tg^2\alpha$.