Matura podstawowa, czerwiec 2012, zadanie 27

(2 pkt.)
Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens jego kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu.

ROZWIĄZANIE:

Oczywiście na początku wypada zrobić rysunek i zaznaczyć na nim wszystkie potrzebne dane.

Oczywiście, by policzyć pole trapezu zastosujemy wzór $$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}.$$ Widzimy, że mamy już długości podstaw $a$ oraz $b$, które wynoszą $10$ i $6$. Brakuje jedynie wysokości. Dorysujmy więc ją na naszym rysunku. Zauważmy też, że nasza podstawa zostanie podzielona na odcinki długości $6$ (rzutujemy górną podstawę) i $4$ (bo $10-6=4$).

Powstał trójkąt prostokątny, w którym znana jest wartość tangensa kąta alfa $$tg\alpha=3.$$ Wiedząc, że tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do drugiej przyprostokątnej, możemy zapisać: $$tg\alpha=\frac{h}{4}.$$ Wstawmy wartość tangensa z zadania: $$3=\frac{h}{4}.$$ Pomnóżmy obustronnie razy $4$: $$12=h.$$

Teraz nasze dane wstawimy do wzoru na pole trapezu $$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$$ $$P=\frac{(10+6)\cdot 12}{2}$$ $$P=\frac{\not{16}^8\cdot 12}{\not{2}_1}=8\cdot 12=96.$$

ODPOWIEDŹ: Pole tego trapezu to 96.

Zadanie domowe:

(2 pkt.)
Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 3 i 6 oraz tangens jego kąta ostrego jest równy 1. Oblicz pole tego trapezu.