Matura podstawowa, czerwiec 2012, zadanie 33

(4 pkt.)
Oblicz, ile jest liczb naturalnych pięciocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, jest dokładnie jedna cyfra 7 i dokładnie jedna cyfra parzysta.

ROZWIĄZANIE:

Mamy do dyspozycji $5$ miejsc:\[_ _ _ _ _\]
Jedno zajmujemy dla obowiązkowej siódemki.
Drugie zajmujemy dla obowiązkowej liczby parzystej, a więc dla jednej z nich: $2,4,6,8$.
Pozostały trzy miejsca, na których na pewno nie ma być zera, siódemki, ani liczby parzystej. Na tych miejscach mogą stać: $1,3,5,9$.

Jedno miejsce wykorzystujemy w jeden sposób (na siódemkę).
Drugie na $4$ sposoby (na liczbę parzystą).
Trzecie, czwarte i piąte miejsce także na cztery sposoby każde - nie zostało powiedziane, że pozostałe cyfry nie mogą się powtarzać.

Daje nam to: \[1 \cdot 4 \cdot 4\cdot 4\cdot 4= 256.\]
Czyli aż $256$ liczb pięciocyfrowych spełniających warunki zadania. Zwróćmy jednak uwagę, że wynik ten dotyczy określonej przez nas kolejności!!! (wstawiliśmy siódemkę na pierwszym miejscu, parzystą na drugim...).

Coś należy zmienić...

Musimy naszą liczbę domnożyć przez $5$, bo przecież na tyle sposobów można wybrać miejsce dla siódemki. I jeszcze przez $4$ - bo po wybraniu miejsca dla siódemki zostaną nam cztery miejsca do wyboru dla liczby parzystej.
Pozostałe cyfry wpisujemy na pozostałych miejscach w liczbie.

Otrzymujemy: \[256\cdot 5\cdot 4 =5120.\]
Jest $5120$ liczb pięciocyfrowych spełniających warunki zadania.

ODPOWIEDŹ: Takich liczb jest $5120$.

Zadanie domowe:

(4 pkt.)
Oblicz, ile jest liczb naturalnych pięciocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero i jeden, jest dokładnie jedna cyfra 4 i dokładnie jedna cyfra nieparzysta.