Matura podstawowa, czerwiec 2012, zadanie 32

(4 pkt.)
Punkty $A=(2,11)$, $B=(8,23)$, $C=(6,14)$ są wierzchołkami trójkąta. Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka $C$ przecina prostą $AB$ w punkcie $D$. Oblicz współrzędne punktu $D$.

ROZWIĄZANIE:

Zapiszmy plan działania:
- wyznaczamy prostą $AB$
- wyznaczamy prostą prostopadłą do $AB$, przechodzącą przez punkt $C$ - będzie to równanie prostej zawierającej wysokość
- z wyznaczonych prostych robimy układ równań - rozwiązując go wyznaczymy punkt $D$

Krótko i na temat:-)

Na początek prosta $AB$, czyli prosta przechodząca przez punkt $A=(2,11)$ i $B=(8,23)$. Współrzędne tych punktów wstawiamy do wzoru z tablic lub do ogólnego równania prostej: $$y=ax+b.$$ Oczywiście pierwsze współrzędne podanych wyżej punktów to iksy, drugie współrzędne to igreki: $$\left\{\begin{matrix}11=2a+b\\23=8a+b\end{matrix}\right.$$ Trzeba rozwiązać - np. metodą przeciwnych współczynników - jedno z równań pomnożymy przez $-1$: $$\left\{\begin{matrix}-11=-2a-b\\23=8a+b\end{matrix}\right.$$ A następnie dodamy je stronami: $$-11+23=-2a+8a$$ $$12=6a$$ $$a=2.$$ Mając już współczynnik $a$, wyznaczymy $b$, przykładowo z pierwszego równania: $$11=2a+b$$ $$11=2\cdot 2+b$$ $$11=4+b$$ $$b=7.$$ Prosta $AB$ ma więc równanie: $$y=2x+7.$$

Teraz kolej na prostą prostopadłą do $AB$, przechodzącą przez punkt $C$. Nowa prosta musi mieć współczynnik kierunkowy taki, by: $$a_1\cdot a_2=-1$$ Tak więc: $$2\cdot a_2=-1$$ $$a_2=-\frac{1}{2}.$$ Będzie mieć wtedy równanie $$y=-\frac{1}{2}x+b$$ Oczywiście, jeśli prosta ma przechodzić przez punkt $C=(6,14)$, musimy wstawić współrzędne punktu do równania prostej: $$14=-\frac{1}{2}\cdot 6+b$$ $$14=-3+b$$ $$b=17.$$ Prosta zawierająca wysokość, wypuszczoną z wierzchołka $C$ ma równanie: $$y=-\frac{1}{2}x+17.$$

Przejdźmy do ostatniego podpunktu naszego planu, czyli do wyznaczenia współrzędnych punktu $D$. W tym celu rozwiążemy układ równań: $$\left\{\begin{matrix}y=2x+7\\y=-\frac{1}{2}x+17\end{matrix}\right.$$ Skoro lewe strony równania muszą być sobie równe, to i prawe: $$2x+7=-\frac{1}{2}x+17$$ $$2x+\frac{1}{2}x=17-7$$ $$2,5x=10$$ $$x=4$$ Oczywiście $y$ można wyznaczyć z któregoś z równań układu - weźmy pierwsze $$y=2x+7$$ $$y=2\cdot 4+7$$ $$y=8+7$$ $$y=15$$ Współrzędne punktu $D$ to wyliczone przez nas wartości $x$ i $y$: $$D=(4,15).$$

ODPOWIEDŹ: Punkt $D$ ma współrzędne $D=(4,15)$.

Zadanie domowe:

(4 pkt.)
Punkty $A=(2,11)$, $B=(8,23)$, $C=(6,14)$ są wierzchołkami trójkąta. Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka $A$ przecina prostą $BC$ w punkcie $E$. Oblicz współrzędne punktu $E$.