Matura podstawowa, sierpień 2011, zadanie 7

Dla pewnych liczb $a$ i $b$ zachodzą równości: $a^2-b^2=200$ i $a+b=8$. Dla tych liczb $a$ i $b$ wartość wyrażenia $a-b$ jest równa:
A. $25$
B. $16$
C. $10$
D. $2$

ROZWIĄZANIE:

Dwa równania z dwiema niewiadomymi, to po prostu układ równań:\[\left\{\begin{matrix}a^2-b^2=200\\ a+b=8\end{matrix}\right.\]Z drugiego równania wyznaczmy na przykład $a$:\[\left\{\begin{matrix}a^2-b^2=200\\a=8-b\end{matrix}\right.\]Wstawmy wyliczoną wartość do pierwszego równania: \[\left\{\begin{matrix}(8-b)^2-b^2=200\\a=8-b\end{matrix}\right.\]Teraz uporządkujmy pierwsze równanie korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:\[\left\{\begin{matrix}64-16b+b^2-b^2=200\\a=8-b\end{matrix}\right.\]\[\left\{\begin{matrix}64-16b=200\\a=8-b\end{matrix}\right.\]\[\left\{\begin{matrix}-16b=200-64\\a=8-b\end{matrix}\right.\]\[\left\{\begin{matrix}-16b=136\\a=8-b\end{matrix}\right.\]\[\left\{\begin{matrix}b=136:(-16)\\a=8-b\end{matrix}\right.\]\[\left\{\begin{matrix}b=-8,5\\a=8-b\end{matrix}\right.\]\[\left\{\begin{matrix}b=-8,5\\a=8-(-8,5)\end{matrix}\right.\]\[\left\{\begin{matrix}b=-8,5\\a=8+8,5\end{matrix}\right.\]\[\left\{\begin{matrix}b=-8,5\\a=16,5\end{matrix}\right.\]W tym momencie mamy do policzenia różnicę:\[a-b=16,5-(-8,5)=16,5+8,5=25.\]

ODPOWIEDŹ: A.

Zadanie domowe:

Dla pewnych liczb $a$ i $b$ zachodzą równości: $a^2-b^2=100$ i $a+b=2$. Dla tych liczb $a$ i $b$ wartość wyrażenia $a-b$ jest równa:
A. $5$
B. $10$
C. $25$
D. $50$