Matura podstawowa, czerwiec 2012, zadanie 34

(4 pkt.)
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny $ABCDEF$ o podstawach $ABC$ i $DEF$ i krawędziach bocznych $AD$, $BE$ i $CF$ (zobacz rysunek). Długość krawędzi podstawy $AB$ jest równa 8, a pole trójkąta $ABF$ jest równe 52. Oblicz objętość tego graniastosłupa.



ROZWIĄZANIE:

Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup, który w podstawie posiada wielokąt foremny. Oczywiście jeśli mowa o graniastosłupie prawidłowym trójkątnym to będziemy mieć do czynienia z trójkątem równobocznym w podstawie - będzie miał on bok długości $8$.

Spójrzmy na poniższe rysunki. Wyrysowanie trójkątów z którymi mamy do czynienia ułatwi nam zadanie:-)
Oznaczyliśmy też odcinki które powtarzają się w trójkątach:
(koniecznie kliknijcie w rysunek, by go powiększyć)

Zapiszmy plan działania:
- z pierwszego trójkąta ($ABF$) wyliczymy długość $h$, korzystając z klasycznego wzoru na pole trójkąta
- z ostatniego trójkąta ($CAB$) wyliczymy $h_p$ (ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego
- w środkowym trójkącie ($CGF$) będziemy mieć wówczas dwa odcinki, a że trójkąt ten jest prostokątny to z twierdzenia Pitagorasa wyliczymy długość $H$
- obliczymy objętość ostrosłupa $V=P_p\cdot H$, gdzie pole podstawy, to pole trójkąta równobocznego o boku $8$.

No to lecimy:-)

- z pierwszego trójkąta ($ABF$) wyliczymy długość $h$, korzystając z klasycznego wzoru na pole trójkąta \[P=\frac{a\cdot h}{2}\]\[52=\frac{8\cdot h}{2}\]\[52\cdot 2=8\cdot h\]\[104=8\cdot h\]\[13=h\]

- z ostatniego trójkąta ($CAB$) wyliczymy $h_p$ (ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego
\[h_p=\frac{a\sqrt{3}}{2}\]\[h_p=\frac{8\sqrt{3}}{2}\]\[h_p=4\sqrt{3}\]

- w środkowym trójkącie ($CGF$) będziemy mieć wówczas dwa odcinki, a że trójkąt ten jest prostokątny to z twierdzenia Pitagorasa wyliczymy długość $H$
\[H^2+h_p^2=h^2\]\[H^2+(4\sqrt{3})^2=13^2\]\[H^2+48=169\]\[H^2=169-48\]\[H^2=121\]\[H=11\]

- obliczymy objętość ostrosłupa $V=P_p\cdot H$, gdzie pole podstawy, to pole trójkąta równobocznego o boku $8$.
\[P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\]\[P_p=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}\]\[P_p=\frac{64\sqrt{3}}{4}\]\[P_p=16\sqrt{3}\]
\[V=P_p\cdot H\]\[V=16\sqrt{3}\cdot 11\]\[V=176\sqrt{3}.\]

ODPOWIEDŹ: Objętość graniastosłupa wynosi $176\sqrt{3}$.

Zadanie domowe:
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny $ABCDEF$ o podstawach $ABC$ i $DEF$ i krawędziach bocznych $AD$, $BE$ i $CF$ (zobacz rysunek). Długość krawędzi podstawy $AB$ jest równa 6, a pole trójkąta $ABF$ jest równe 36. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

(nie przeliczam póki co, więc końcowy wynik może zawierać nieco dziwny pierwiastek;p)