Matura podstawowa, czerwiec 2012, zadanie 27

(2 pkt.)
Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens jego kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu.

ROZWIĄZANIE:

Oczywiście na początku wypada zrobić rysunek i zaznaczyć na nim wszystkie potrzebne dane.

Oczywiście, by policzyć pole trapezu zastosujemy wzór \[P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}.\] Widzimy, że mamy już długości podstaw $a$ oraz $b$, które wynoszą $10$ i $6$. Brakuje jedynie wysokości. Dorysujmy więc ją na naszym rysunku. Zauważmy też, że nasza podstawa zostanie podzielona na odcinki długości $6$ (rzutujemy górną podstawę) i $4$ (bo $10-6=4$).

Powstał trójkąt prostokątny, w którym znana jest wartość tangensa kąta alfa\[tg\alpha=3.\]Wiedząc, że tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do drugiej przyprostokątnej, możemy zapisać:\[tg\alpha=\frac{h}{4}.\]Wstawmy wartość tangensa z zadania:\[3=\frac{h}{4}.\]Pomnóżmy obustronnie razy $4$:\[12=h.\]

Teraz nasze dane wstawimy do wzoru na pole trapezu \[P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}\]\[P=\frac{(10+6)\cdot 12}{2}\]\[P=\frac{\not{16}^8\cdot 12}{\not{2}_1}=8\cdot 12=96.\]

ODPOWIEDŹ: Pole tego trapezu to 96.

Zadanie domowe:

(2 pkt.)
Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 3 i 6 oraz tangens jego kąta ostrego jest równy 1. Oblicz pole tego trapezu.