Matura podstawowa, czerwiec 2012, zadanie 30

(2 pkt.)
Suma $S_n=a_1+a_2+...+a_n$ początkowych $n$ wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego $(a_n)$ jest określona wzorem $S_n=n^2-2n$ dla $n\geq 1$. Wyznacz wzór na $n$-ty wyraz tego ciągu.

ROZWIĄZANIE:
Pokażemy dwa sposoby na rozwiązanie tego zadania:

I sp.
Zauważmy pewną zależność:\[S_1=a_1\]\[S_2=a_1+a_2=S_1+a_2\]\[S_3=a_1+a_2+a_3=S_2+a_3\]\[...\]\[S_n=a_1+a_2+...+a_n=S_{n-1}+a_n.\] Ostatniej zależności potrzebujemy, by wyznaczyć wzór na $n$-ty wyraz ciągu: \[S_n=S_{n-1}+a_n\]więc\[a_n=S_n-S_{n-1}.\]Wzór na $S_n$ mamy dany:\[S_n=n^2-2n.\]Policzmy zatem wzór na $S_{n-1}$, w tym celu do wzoru na $S_n$ wstawmy zamiast $n$ wyrażenie $n-1$:\[S_{n-1}=(n-1)^2-2\cdot(n-1).\]Oczywiście pasowałoby pozbyć się nawiasów i zapisać nasze wyrażenie w prostszej postaci \[S_{n-1}=n^2-2n+1-2n+2\]\[S_{n-1}=n^2-4n+3\]Wstawmy to, co otrzymaliśmy to naszej formuły na $a_n$:\[a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2-2n)-(n^2-4n+3)=n^2-2n-n^2+4n-3\]Po zredukowaniu wyrazów podobnych dostaniemy:\[a_n=2n-3.\]

II sp.
Korzystamy z zależności przedstawionej w sposobie pierwszym, jednak od razu ze wzoru na $S_n$ wyznaczajmy odpowiednie sumy: \[S_1=a_1=1^2-2\cdot 1=1-2=-1.\]To samo z sumą dwóch pierwszych wyrazów ciągu:\[S_2=a_1+a_2=-1+a_2\]\[2^2-2\cdot 2=-1+a_2\]\[4-4=-1+a_2\]\[0=-1+a_2\]\[a_2=1.\]
Mamy więc wyznaczony pierwszy i drugi wyraz ciągu arytmetycznego. Oczywiście różnica naszego ciągu to różnica między tymi wyrazami\[r=a_2-a_1=1-(-1)=2.\] W tym momencie mamy już $a_1$ i $r$, a to wystarcza do wyznaczenia wyrazu ogólnego ciągu: \[a_n=a_1+(n-1)\cdot r\]\[a_n=-1+(n-1)\cdot 2\]\[a_n=-1+2n-2\]\[a_n=2n-3.\]

Jak widzimy - to samo! Sami wybierzcie metodę łatwiejszą:-)

ODPOWIEDŹ: Wzór na $n$-ty wyraz tego ciągu to $a_n=2n-3$.

Zadanie domowe:
Suma $S_n=a_1+a_2+...+a_n$ początkowych $n$ wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego $(a_n)$ jest określona wzorem $S_n=5n-n^2$ dla $n\geq 1$. Wyznacz wzór na $n$-ty wyraz tego ciągu.